Man untersucht, ob das Gleichungssystem
$$ a*v_1+b*v_2+c*v_3=0 $$
eine nicht triviale Lösung hat.
In Matrixschreibweise ist das
$$ (v_1|v_2|v_3)*(a,b,c)^T=(0,0,0,0)^T $$
Das ist ein homogenes Gleichungsystem.
Dann wurde mithilfe von Gauß-Verfahren zu der Matrix oben umgeformt.
Ausgeschrieben steht dort folgendes:
a+b+c=0
-b+c=0
-5c=0
0=0
Wenn du von unten nach oben die Variablen auflöst, dann bekommt man a=b=c=0 .
Also sind die Vektoren linear unabhängig. Das ganze kann man auch mit dem Rang begründen, siehe hier:
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesbarkeitskriterien-fuer-homogene-lineare