Zeigen, dass eine lineare Abbildung und ein Vektor linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Sei \( f: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung und \( v \in V \) ein Vektor mit \( f(v) \neq 0 \) und \( (f \circ f)(v)=0 \).

Zeigen Sie, dass dann \( v \) und \( f(v) \) linear unabhängig sind.

Answer 1

Das geht direkt mit der Definition:

Seien \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\), sodass \(\alpha v+\beta f(v)=0\). Du musst zeigen, dass dann \(\alpha=\beta=0\) ist.

Wende dazu auf beiden Seiten der Gleichung die Abbildung \(f\) an.