Zeigen Sie, dass die Liste mit Polynomen linear abhängig ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die durch die Terme
\(x^{2}-2 x+1,-x^{3}-x, 3 x-2 \text { und }x^{3}+x^{2}+2 x-1\)

definierten Polynome \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \)

1) Zeigen Sie, dass die Liste \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \) linear abhängig ist.

Answer 1

Ansatz:

\(a \cdot(x^{2}-2 x+1) +b \cdot(-x^{3}-x)  \)
       \(+ c \cdot (3 x-2) + d \cdot(x^{3}+x^{2}+2 x-1) = \)0-Polynom.

Forme um zu

\(    (\dots)x^{3}+(\dots)x^{2}+(\dots)x+(\dots)1=  \)0-Polynom.

Da \( x^{3},x^{2}, x,1 \) linear unabhängig sind, sind die 4

Klammern alle gleich 0 und daraus bekommst du

andere Lösungen als a=b=c=d=0.    q.e.d.

Comments

Das waere Mein 0-Polynom

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Text erkannt:

Sei \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4} \in \mathbb{R} \) so gewählt. class \( \lambda_{1} p_{1}+\lambda_{2} p_{2}+\lambda_{3 p^{3}} \lambda_{4} p_{1}=0 \) ist
Einsetzen liefert:
\( \begin{aligned} & \lambda_{1}\left(x^{2}-2 x+1\right)+\lambda_{2}\left(-x^{3}-x\right)+\lambda_{3}(3 x-2)+\lambda_{4}\left(x^{3}+x^{2}+2 x-1\right) \\ \Leftrightarrow & \lambda_{1} x^{2}+\left(-2 x \lambda_{1}\right)+\lambda_{1}+\left(-x^{3} \lambda_{2}\right)+\left(-x \lambda_{2}\right)+3 x \lambda_{3}+\left(-2 \lambda_{3}\right)+x^{3} \lambda_{4}+x^{2} \lambda_{4}+2 x \lambda_{4}+\left(-\lambda_{4}\right) \\ \Rightarrow & x^{3}\left(-\lambda_{2}+\lambda_{4}\right)+x^{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{4}\right)+x\left(-2 \lambda_{1}-\lambda_{2}+3 \lambda_{3}+2 \lambda_{4}\right)+\left(\lambda_{1}-2 \lambda_{3}-\lambda_{4}\right) \\ =& x^{3} \cdot 0+x^{2} \cdot 2+x \cdot 0+1 \cdot(-2) \end{aligned} \)

Jetzt weiss ich allerdings nicht, wie man das als Matrix darstellst. Das wäre meine Idee/Versuch.

\( \begin{array}{ll}\hookrightarrow \text { Koeffizientenvergleich. } & \text { I) }-\lambda_{2}+\lambda_{4}=0 \\ \text { II) } \lambda_{1}+\lambda_{4}=2\end{array} \)

III) \( -2 \lambda_{1}-\lambda_{2}+3 \lambda_{3}+2 \lambda_{4}=0 \)
IV) \( \lambda_{1}-2 \lambda_{3}-\lambda_{4}=-2 \)

\( \left(\begin{array}{cccc|c}0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 2\end{array}\right) \)

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Letzte Zeile meinte ich -2 statt 2

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Das 0-Polynom ist doch

\(  x^{3} \cdot 0+x^{2} \cdot 0+x \cdot 0+1 \cdot 0  \)

also die Matrix

\(\left(\begin{array}{cccc|c}0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -2& -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\end{array}\right) \)

2. Zeile und erste tauschen gibt

\(\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\end{array}\right) \)

3. Zeile + 2* 1. Zeile und  4. minus 1.

\(\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 0\end{array}\right) \)

3. minus 2.

\(\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -2 & -2 & 0\end{array}\right) \)

3*4. + 2*3. gibt

\(\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

also gibt es andere Lösungen als a=b=c=d=0.

und damit sind die Vektoren lin. abh.

(Ich hatte ursprünglich UNabh. gelesen.)

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Also ist das 0-Polynom immer gleich?

x^4*0+x^3*0+x^2*0+x*0+1*0?

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Klar, es muss ja für jeden Wert von x den Wert 0 liefern.

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Okay Danke!

Ist denn mein Koeffizientenvergleich richtig?

Also das überall =0 stehen muss, muss ich noch ändern.

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Ja, das ist OK.

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Nochmal eine Frage.

Wie zeige ist jetzt, dass die linear abhängig sind?

\( \Rightarrow \) IV) \( 0 \cdot \lambda_{4}=0 \quad \) d.h \( \quad \lambda_{4}=0 \)
\( \Longrightarrow \) III) \( 3 \cdot \lambda_{3}+3 \cdot \lambda_{4}=0 \)
\( \Longrightarrow \) II) \( -1 \cdot \lambda_{2}+1 \cdot \lambda_{4}=0 \quad \), dh \( \lambda_{2}=\lambda_{4}=0 \)
\( \Leftrightarrow \) I) \( 1 \cdot \lambda_{1}+1 \cdot \lambda_{4}=0 \)

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Wenn das Gleichungssystem außer

\(  \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=0 \)

noch andere Lösungen hat, z.B. eine mit \(  \lambda_{1}=1 \)

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Das ist ja bei lambda 1 und lambda 3 der Fall?

Wie schreibe ich das auf?

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Etwa so : Wenn du Werte hast, bei denen mindestens einer nicht 0 ist

\(\lambda_{1}=\dots\lambda_{2}=\dots\lambda_{3}=\dots\lambda_{4}=\dots \)

ist eine von der 0-Lösung verschiedene Lösung, also sind die

Vektoren lin. abh.