(a) Es sei \( V \) ein \( \mathrm{K} \) - Vektorraum, \( B=\left\{b_{1}, \ldots b_{n}\right\} \) eine Basis von \( V \) und \( S=\left\{\mathbf{u}_{1} \ldots, v_{m}\right\} \) eine Teilmenge von \( V \). Wir bezeichnen mit \( T \) die Menge der Koordinatenvektoren zu den Vektoren aus \( B \), also \( T=\left\{\left[\boldsymbol{u}_{1}\right]_{B}, \ldots\left[\boldsymbol{u}_{m}\right]_{B}\right\} \).
Zeigen Sie: Die Menge \( S \) als Teilmenge von \( V \) ist genau dann linear unabhängig, wenn die Menge \( T \) als Teilmenge von \( \mathbb{R}^{n} \) linear unabhängig ist.
Hinweis: Unterscheiden Sie deutlich zwischen dem Nullvektor in \( V \) und dem Nullvektor in \( R^{n} \). Nennen Sie den Nullvektor in \( V \) beispielsweise \( o_{V} \).
b) Es sei nun \( V=\mathbb{R}^{2,2} \) der Vektorraum der reellen \( 2 \times \) 2-Matrizen und \( Q=\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\right\} \) mit
\( A_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right), A_{4}=\left(\begin{array}{cc} -3 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right) \)
i. Zeigen Sie unter Verwendung von Teil a), dass \( Q \) eine Basis von \( V \) ist.
ii. Bestimmen Sie \( A_{Q} \) für \( A=\left(\begin{array}{cc}7 & 3 \\ -3 & -1\end{array}\right) \).
