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Es sei \( K \) ein Körper der Charakteristik \( \neq 2 \). Es sei \( V \) ein endlich erzeugter \( K \)-Vektorraum und \( \varphi: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus mit \( \varphi^{2}=\mathrm{id}_{V} \).
Zeigen Sie:
(a) \( V=V_{+} \oplus V_{-} \), mit \( V_{+}:=\{v \in V \mid \varphi(v)=v\} \) und \( V_{-}:=\{v \in V \mid \varphi(v)=-v\} \).
(b) Es gibt eine Basis von \( V \), bezüglich welcher die Matrix von \( \varphi \) die Gestalt
hat.
(c) Zeige, dass die Aussage aus (b) im Allgemeinen falsch wird, wenn die Charakteristik von \( K \) gleich 2 ist.
Hinweis: Man kann ein Beispiel mit \( \operatorname{dim}_{K}(V)=2 \) finden.
Hallo, leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie eine Lösung zu dieser Aufgabe aussehen könnte. Kann mir jemand evtl. einen Lösungsweg schicken. Wäre sehr dankbar.
