Aussagen Körper mit Charakteristik ≠ 2

Question

Es sei K ein endlicher Körper mit n Elementen von Charakteristik ungleich 2.
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
φ: K× → K×, x |→ x2
ein Gruppenhomomorphismus ist.

b) Zeigen Sie, dass es in K× genau so viele Quadrate, wie Nicht-Quadrate gibt.

c) Es sei x0 ein Nicht-Quadrat in K×. Argumentieren Sie, warum die Abbildung f : K× → K×, y |→ y · x0
die Quadrate in Nicht-Quadrate überführt, und vice-versa.

d) Zeigen Sie, dass es in K× zwei Quadrate x, y gibt, sodass x + y kein Quadrat ist.

e) Wieviele verschiedene quadratische Räume der Dimension 3 gibt es über K? Wie- viele davon sind nicht-ausgeartet?

Kann jemand diese Beweise ? Ansätze oder Ideen? Ich komme nicht weiter.

Comments

Kann mir jemand hier helfen?

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bei a) musst du die axiome für einen Gruppenhomomorphismus nachrechnen.
bei b) weißt du dass du einen Körper der charakteristik p für eine Primzahl p ungleich 2 hast. Überlege dir zunächst anhand von leichten Beispielen, wie Z/3Z oder Z/5Z oder Z/7Z,... wie die Quadrate aussehen und wie die nichtquadrate aussehen.

bei d) reicht ein Gegenbeispiel. Aus den Überlegungen von Aufgabenteil b) kannst du nun zwei Quadrate leicht ablesen, deren Summe bei den nichtquadraten ist.

Vielleicht hilft das schonmal.

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Mir ist nicht ganz klar, wie das mit den Quadraten und nicht Quadraten gemeint ist. b,c und d kann ich damit nicht lösen. Also ich meine x|->x ^2 gilt ja, aber wie soll ich dann zeigen wie viel es davon gibt ?

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a) Nachrechnen.

b) Homomorphiesatz. Tipp: da K Körper hat \( x^2 = 1 \) nur 2 verschiedene Lösungen welche? Hier geht \( \operatorname{char} K \neq 2 \) ein.

Also \( V/\ker \varphi \cong \operatorname{Bild} \varphi \), darauf jetzt den Satz von Lagrange anwenden. Das Bild ist gerade die Menge aller Quadrate. Also ist \( K^* \setminus \operatorname{Bild} \varphi \) die Menge der Nicht-Quadrate. Es gilt

$$ \# K^* \setminus \operatorname{Bild} \varphi = \# K^* - \# \operatorname{Bild} \varphi $$

c) Sei \(y=z^2\) ein Quadrat. Angenommen \( f(y)= z^2 x_0 \) ist ein Quadrat etwa \( f(y) = w^2 \) => ... => \( x_0 \) ist ein Quadrat. Widerspruch. Also f(y) kein Quadrat.

Sei m (hier m durch die wahre Anzahl ersetzen) die Anzahl der Quadrate in K. Da f injektiv (nachrechnen!) bildet f die m Quadrate auf m p.w. verschiedene Nicht-Quadrate ab, das sind nach b) aber bereits alle Nicht-Quadrate. Für die Bilder von den Nicht Quadraten kommen also nur Quadrate in Frage.

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Wie ist die Charakteristik genau zu verstehen? Also was bedeutet hier ungleich 2? Weil ich habe ja bei x^2=1 zwei Lösungen.

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Wie genau haben Sie den Satz von Lagrange darauf angewendet?

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Die Charakteristik ist die kleinste Zahl n für die 1 + ... + 1 = 0 (n-mal 1 addiert). Oder falls solch eine Zahl nicht existiert (z.B. in den reellen Zahlen) ist die Charakteristik 0.

Ist char(K) = 2 gilt also 1 + 1 = 0 also -1 = 1. Wie sieht es jetzt mit deinen zwei Lösungen aus? Ist plötzlich nur noch eine da, oder?

Für char(K) ≠ 2 sind auf jeden Fall 1 und -1 zwei VERSCHIEDENE Lösungen.

also \( \ker \varphi = \{ \pm 1 \} \). Homsatz liefert Isomorphismus \( K^*/\ker \varphi \cong \operatorname{Bild} \varphi \)

Satz von Lagrange sagt

$$ \frac{\# K^*}{\# \ker \varphi} = \# (K^*/\ker \varphi) = \# \operatorname{Bild}\varphi $$

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Was meinen Sie mit der wahren Anzahl der Quadrate, wie soll man das denn ausrechnen, dachte es bleibt allgemein ?

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Du kannst die Anzahl der Quadrat in Abhängigkeit von n angeben.