Volumenformel eines abgerundeten Prismas erstellen in Abhängigkeit von r.

Question

ich muss eine volumenformel zum abgebildeten koerper in abhaengigkeit von r ermitteln.

Die Oberfläche (einschließlich Boden) beträgt 11,14m².

Für das Volumen komme ich auf V=4r²h+3,14r³ (4r²h=Quader) (3,14r³=Halbzylinder) Bin mir aber wirklich total unsicher :)

Oberfläche komme ich beim Quader auf 4r²=Boden, 8rh=4 Seiten von Quader, 3,14r²=2 Halbkreise, Den Zylindermantel bekomme ich nicht raus.

Und Aufgabe ist es eben, Volumenfunktion in Abhängigkeit von r zu ermitteln. Muss also bei der Oberfläche nach h auflösen, vorausgesetzt meine Volumenformel ist richtig.

Und einen geeigneten Definitionsbereich zu bestimmen und den Graph zeichnen.

Und anzugeben, bei welchen Maßen das Volumen am größten ist. (Keine Ahnung habe ich hier wie das geht bei einer ganzrationalen funktion, weil da gibt es ja kein Maximum)

Comments

Soweit ist alles richtig. Für den Zylindermantel nimm den Mantel eines ganzen Zylinders und halbiere ihn. Das wäre dann

M = 1/2*2πr*2r = 2πr^2

Willst Du es selbst weiter probieren? :)

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So, ich habe eine Lösung! :)

O=13,42r²+8rh

h=11,16-13,42r²/8r

V(h)=-3,57r³+5,58r

Bitte sag mir das das richtig ist! :))

Den Definitionsbereich weiß ich nicht, wie ich bestimme und bei welchen Maßen das Volumen am höchsten ist, weis ich auch nicht.

Dazu müsste ich ja zeichen aber bei dieser Funktion gibt es ja kein Maximum, weil wir ja ³ mit haben, oder liege ich mit meiner Rechnung oben falsch?

Answer 1

Hi Simon,

alleine abhängig von r wird man das ohne Zusatzangaben nicht hinbekommen, da ein h im Spiel ist.

V_Quader = 2r*2r*h = 4r^2*h

V_Halbzyl = 1/2 * πr^2*2r = πr^3

 

V_Gesamt = 4r^2*h + πr^3

 

Grüße

Comments

So, ich habe eine Lösung und stelle die jetzt hier her, weil du ja gemeint hast, dass es sonst vielleicht untergeht! :) Habe es zwar auch oben schonmal aber zweimal ist besser wie ´keinmal´! :)

O=13,42r²+8rh

h=11,16-13,42r²/8r

V(h)=-3,57r³+5,58r

Bitte sag mir das das richtig ist! :))

Den Definitionsbereich weiß ich nicht, wie ich bestimme und bei welchen Maßen das Volumen am höchsten ist, weis ich auch nicht.

Dazu müsste ich ja zeichen aber bei dieser Funktion gibt es ja kein Maximum, weil wir ja ³ mit haben, oder liege ich mit meiner Rechnung oben falsch?

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h=(11,16-13,42r²)/8r

V(r)=-3,57r³+5,58r

 

Beim ersten Teil gehören Klammern hin. Bei der zweiten Zeile ist der Vorfaktor falsch. Der müsste etwa 9,85 sein.

Es ist übrigens unüblich schon während der Rechnung mit gerundeten Werten zu arbeiten. Lass einfach π stehen.

 

Für den Definitionsbereich achte nun darauf, wann V>0 ist. Sonst ist das natürlich unsinnig.

Für das maximale Volumen leite ab und bestimme V' = 0 ;).

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Danke dir erstmal! :)

Leider weis ich nicht wie du auf 9,85 beim Vorfaktor kommst. Bei uns gilt: Pi=3,14

Da ich nach h richtig aufgelöst habe, komme ich auf:

V(r)=4r²((11,16-13,42r²)/8r)+3,14r³

V(r)=((44,64r²-53,68r^4)/8r)+3,14r³

Dann habe ich ein r ausgeklammert, damit ich nur noch 8 im Bruch habe und dann geteilt + 3,14r³.

Komme dann auf die Formel oben.

Kannst du korrigieren?

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Ah der Fehler lag bei mir. Hatte ausversehen beide größen addiert ohne auf das Vorzeichen zu achten. Verzeih :).

Am weiteren Vorgehen ändert sich aber nix^^.

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Stimmt meine Volumenfunktion?

Wenn ja, rechne ich jetzt mal weiter^^.

Definitionsbereich:

r1=0,r2=1,25,r3=-1,25

Habe mir jetzt dann mal eine Skizze gemacht. Der Graph kommt von links oben und geht nach rechts unten. Deshalb kommt ich beim Definitionsbereich auf: r∈)-∝;-1,25(∪)0;1,25(

Ist das richtig so?

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Der erste Teil ist natürlich unsinnig. Es gibt keine negative Radien ;).

Der zweite Teil ist aber richtig.


Dann nur noch die Suche nach dem Maximum. Das geht wie? :)

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Ja, ich habe einfach mal die ganze Lösungsmenge hingeschrieben ;)


Du hast oben erwähnt ableiten und V=0 setzen.

Aufgabenstellung nochmal ;)

Bei welchen Maßen ist das Volumen am größten?

Also hier weis ich nicht wirklich weiter^^

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Dann folge doch mal meinem Vorschlag.

Leite ab und setze dies 0.

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Gottseidank habe ich das gerade ausgerechnet mit größer.

Dann sind das ja hier einfach die Lösungen der Gleichung, die ich oben ausgerechnet habe.

Heißt das, wenn der Radius 1,25 ist, das dann das volumen am größten ist?

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Hmm?

Nein dem ist nicht so. Dann ist das Volumen am kleinsten. Nämlich 0 :P.

Du hast doch bisher V(r).

Bestimme jetzt erstmal V'(r).

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Wie mache ich das?

Habe keine Ahnung im Moment :(

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V(r)=-3,57r³+5,58r

V'(r) = -10,71r^2 + 5,58


Jetzt klar wo Du es siehst? Dann bestimme die Nullstelle (nur die positive ist von Interesse).

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Wie kommst du jetzt darauf?

Wir hatten noch keine Ableitung in der Schule. Ich sehe lediglich, dass ein r weniger in der zweiten Funktionen ist.

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Oh, wenn ihr noch keine Ableitung habt, dann vergiss das mal wieder.

 

Dann zeichne den Graphen und finde das Maximum ;).

 

 

Das ist also bei etwa r = 0,75 zu finden.

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Gut, danke dir!

Es gibt also keine andere Möglichkeite es rechnerisch zu bestimmen ohne Ableitung?

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Mir würde spontan nichts einfallen, was im sinnvollen Aufwandsbereich läge.

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Noch kurz eine theoretische Frage ;)

Mal angenommen das Maximum wäre noch im negativen Bereich im Koordinatensystem und der positive Bereich verläuft dann in +∝ ohne Wendepunkte, so wie es jetzt im negativen Bereich ist.

Was wäre dann r damit V am größten ist?

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Du meinst wenn wir die x-Achse mal umdrehen?

Dann wäre das für r gegen ∞ am größten. Also nicht sinnvoll :P.

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Ist ja auch nicht gefragt gewesen ;)

Es war gefragt:

Bei welchen Maßen ist das Volumen am größten?

Ich habe ja jetzt nur r, was müsste h sein, das exixtiert ja auch noch in der Aufgabe ;)

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Na ich dachte das wäre kein Problem mehr.  Immerhin haben wir ja schon r.

h=(11,16-13,42r²)/8r

und damit auch h ;).

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Könnte man draufkommen, stimmt! :)

Danke dir vielmals!

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Gerne ;)    .

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Genug Mathe für heute! :D

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Mathe ist doch Entspannung, oder nicht? :D


Gute Nacht^^.

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Mathe und BWR sind die Fächer, wo ich leidenschaftlich gerne mache! :)

Weshalb ich dort auch am meisten Punkte habe ;)

Man mag es kaum glauben aber es gibt noch Schüler, denen Mathe sehr viel Spaß macht. Ich gehöre zu diesen ;)

Dir auch

Answer 2

G = pi/2·r^2 + 2·r·h

V = G * 2·r = (pi/2·r^2 + 2·r·h) * 2·r = 4·h·r^2 + pi·r^3


O = 8·h·r + r^2·(3·pi + 4)
h = (O - r^2·(3·pi + 4))/(8·r)


V = 4·((O - r^2·(3·pi + 4))/(8·r))·r^2 + pi·r^3 = O·r/2 - r^3·(pi + 4)/2

V' = (O - 3·r^2·(pi + 4))/2 = 0

r = √(O/(3·pi + 12))

Bitte noch auf Fehler prüfen.

Answer 3

Unten: Ein Quader mit quadratischer Grundfläche,  

Oben: Ein entlang seiner Mittelachse halbierter Kreiszylinder mit Radius r

V_ges = V_Quader + V_Zylinder

= Länge * Breite * Höhe + pi * r ² * Länge / 2

= 2 r * 2 r * h + pi * r ² * 2 r / 2

= 4 r ² * h + r ³ * pi

Nun muss man noch h in Abhängigkeit von r ermitteln, dazu ist sicher wieder der Oberflächeninhalt angegeben, stimmt's?