Hallo!
Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung
Aufgabe: Bestimme das Taylor-Polynom bis zum Grad 3
A) \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto e^{1+x_{1}+2 x_{2}} \) um \( x=(-1,0) \)
\( \begin{array}{l} |\alpha|=0 \Rightarrow e^{1-1+2 \cdot 0}=e^{0}=1 \\ |\alpha|=1 \\ \alpha=(1,0) \quad \partial x_{1}=\left.e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=1 \quad \alpha !=1 !=1 \\ \alpha=(0,1) \quad \partial x_{2}=\left.2 e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=2 \quad \alpha !=1 !=1 \\ |\alpha|=2 \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \alpha=(2,0) \quad 0 x_{1}^{2}=\left.e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=e^{0}=1 \quad \alpha !=2 !=2 \\ \alpha=(0,2) \quad \partial x_{2}^{2}=\left.4 \cdot e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=e^{0}-1 \quad \alpha !=2 !=2 \\ \alpha=(1,1) \quad \partial x_{1} x_{2}=\left.2 e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=2 \quad \alpha !=1 \end{array} \)
\( |\alpha|=3 \)
\( \begin{array}{lll} \alpha=(0,3) & \partial x_{2}^{3}=\left.8 \cdot e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=8 & \alpha !=0 ! \cdot 3 !=6 \\ \alpha=(1,2) & \partial x_{1} \partial x_{2}^{2}=\left.4 \cdot e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=4 & \alpha !=1 ! \cdot 2 !=2 \\ \alpha=(2,1) & \partial x_{1}^{2} \partial x_{2}^{1}=\left.2 e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=2 & \alpha !=2 ! \cdot 1 !=2 \end{array} \)
\( \begin{aligned} T_{(-1,0)}=& 1+1 \cdot\left(x_{1}+1\right)^{1} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{0}+2 \cdot\left(x_{1}+1\right)^{0} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{1}+\frac{1}{2}\left(x_{1}+1\right)^{2} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{0}+\\ & \frac{1}{2} \cdot\left(x_{1}+1\right)^{0} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{2}+2\left(x_{1}+1\right)^{1} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{1}+\frac{1}{6}\left(x_{1}+1\right)^{3}\left(x_{2}-0\right)^{0}+\\ & \frac{8}{6}\left(x_{1}+1\right)^{0}\left(x_{2}-0\right)^{3}+\frac{4}{2} \cdot\left(x_{1}+1\right)^{1} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{2}+\frac{2}{2}\left(x_{1}+1\right)^{2} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{1}=\\ =& 1+x_{1}+2 x_{2}+\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}+2 x_{1}+1\right)+\frac{1}{2} x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}+\frac{1}{6} x_{1}^{3}+\frac{1}{6} \\ &+\frac{8}{6} x_{2}^{3}+\frac{4}{2} x_{1} x_{2}^{2}+\frac{4}{2} x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}=\\ =& 1+x_{1}+2 x_{2}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}+x_{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}+\frac{1}{6} x_{1}^{3}+\frac{1}{6}+\frac{4}{3} x_{2}^{3}+\\ & 2 x_{1} x_{2}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}=\\ & \frac{5}{3}+2 x_{1}+5 x_{2}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}+\frac{5}{2} x_{2}^{2}+4 x_{1} x_{2}+\frac{1}{6} x_{1}^{3}+4 x_{2}^{3}+2 x_{1} x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{2} \end{aligned} \)
Problem:
Ich hab die Aufgabe berechnet, aber bin mir nicht sicher, ob die so stimmt. Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig berechnet habe?