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Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe: Bestimme das Taylor-Polynom bis zum Grad 3

A) \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto e^{1+x_{1}+2 x_{2}} \) um \( x=(-1,0) \)

\( \begin{array}{l} |\alpha|=0 \Rightarrow e^{1-1+2 \cdot 0}=e^{0}=1 \\ |\alpha|=1 \\ \alpha=(1,0) \quad \partial x_{1}=\left.e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=1 \quad \alpha !=1 !=1 \\ \alpha=(0,1) \quad \partial x_{2}=\left.2 e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=2 \quad \alpha !=1 !=1 \\ |\alpha|=2 \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \alpha=(2,0) \quad 0 x_{1}^{2}=\left.e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=e^{0}=1 \quad \alpha !=2 !=2 \\ \alpha=(0,2) \quad \partial x_{2}^{2}=\left.4 \cdot e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=e^{0}-1 \quad \alpha !=2 !=2 \\ \alpha=(1,1) \quad \partial x_{1} x_{2}=\left.2 e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=2 \quad \alpha !=1 \end{array} \)
\( |\alpha|=3 \)
\( \begin{array}{lll} \alpha=(0,3) & \partial x_{2}^{3}=\left.8 \cdot e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=8 & \alpha !=0 ! \cdot 3 !=6 \\ \alpha=(1,2) & \partial x_{1} \partial x_{2}^{2}=\left.4 \cdot e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=4 & \alpha !=1 ! \cdot 2 !=2 \\ \alpha=(2,1) & \partial x_{1}^{2} \partial x_{2}^{1}=\left.2 e^{1+x_{1}+2 x_{2}}\right|_{(-1,0)}=2 & \alpha !=2 ! \cdot 1 !=2 \end{array} \)
\( \begin{aligned} T_{(-1,0)}=& 1+1 \cdot\left(x_{1}+1\right)^{1} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{0}+2 \cdot\left(x_{1}+1\right)^{0} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{1}+\frac{1}{2}\left(x_{1}+1\right)^{2} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{0}+\\ & \frac{1}{2} \cdot\left(x_{1}+1\right)^{0} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{2}+2\left(x_{1}+1\right)^{1} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{1}+\frac{1}{6}\left(x_{1}+1\right)^{3}\left(x_{2}-0\right)^{0}+\\ & \frac{8}{6}\left(x_{1}+1\right)^{0}\left(x_{2}-0\right)^{3}+\frac{4}{2} \cdot\left(x_{1}+1\right)^{1} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{2}+\frac{2}{2}\left(x_{1}+1\right)^{2} \cdot\left(x_{2}-0\right)^{1}=\\ =& 1+x_{1}+2 x_{2}+\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}+2 x_{1}+1\right)+\frac{1}{2} x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}+\frac{1}{6} x_{1}^{3}+\frac{1}{6} \\ &+\frac{8}{6} x_{2}^{3}+\frac{4}{2} x_{1} x_{2}^{2}+\frac{4}{2} x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}=\\ =& 1+x_{1}+2 x_{2}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}+x_{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}+\frac{1}{6} x_{1}^{3}+\frac{1}{6}+\frac{4}{3} x_{2}^{3}+\\ & 2 x_{1} x_{2}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}=\\ & \frac{5}{3}+2 x_{1}+5 x_{2}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}+\frac{5}{2} x_{2}^{2}+4 x_{1} x_{2}+\frac{1}{6} x_{1}^{3}+4 x_{2}^{3}+2 x_{1} x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{2} \end{aligned} \)


Problem:

Ich hab die Aufgabe berechnet, aber bin mir nicht sicher, ob die so stimmt. Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig berechnet habe?

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1 Antwort

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Hallo,

das ist nicht so einfach. Und Du hast Dein Ergebneis auch noch als Bild eingestellt. Das erschwert die Sache etwas.

Zumindest hast Du gleich am Anfang den Faktor \(2\) vergessen - ich habe das bei meiner Varinate markiert. Ich habe:$$\begin{aligned} Tf(x;(-1,0)) &= 1 + x_1+1 + 2x_2 \\ &+ \frac{1}{2}\left((x_1+1)^2 + 2 \cdot 2(x_1+1)x_2 + {\color{red}4} \cdot x_2^2 \right)\\ &+ \frac{1}{6}\left((x_1+1)^3 + 2 \cdot3(x_1+1)^2x_2 + 4 \cdot3(x_1+1)x_2^2 + 8 \cdot x_2^3\right)\\ &= \frac{1}{6}x_1^3 + x_2 x_1^2 + x_1^2 + 2 x_2^2 x_1 + 4 x_2 x_1 + \frac{5}{2} x_1 + \frac{4}{3}x_2^3 + 4 x_2^2 + 5 x_2 + \frac{8}{3} \end{aligned} $$(ohne Gewähr) ;-)

ich habe die Höhenlinien von \(f(x)\) und \(Tf(x;(-1,0))\) in Desmos eingegeben.

Die Höhenlinen von \(f(x)\) sind die blauen Geraden und von \(Tf(x;(-1,0))\) sind die blauen. Die Geraden durch \((-1,0)\) ist deckungsgleich. Das sollte also passen.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Btw. man kann sich 'ne Menge Arbeit sparen, wenn man die Parameter \(x_1\) und \(x_2\) durch$$u=x_1+2x_2, \quad v=2x_1-x_2$$ ersetzt. Dann wird aus$$f(x_1,x_2) = e^{1+x_1+x_2} \to g(u,v) = e^{1+u}$$Der Entwicklungspunkt ist \((u,v)=(-1,2)\), wobei das \(v=2\) aber gar keine Rolle spielt, da die Funktion gar nicht von \(v\) abhängt.

Die Taylorreihe ist$$Tg(x;(-1,2)) = 1 +(u+1) + \frac12(u+1)^2 + \frac16(u+1)^3$$so und nun das \(u\) durch \(u=x_1+2x_2\) ersetzen und evt. noch umformen und fertig.

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