Bestimmen Sie das Taylor-Polynom

Question

Aufgabe:

Es sei f : (−1, ∞) → R mit f : x →√1 + x.
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom vom Grad 3 zu f in x₀ = 0.

Wie man die Aufgabe löst, weiß ich. Mein Problem sind die Ableitungen. Die erste Ableitung bekomme ich noch hin, wie man eine Wurzel ableitet weiß ich. f´(x)= 1/ 2* √1+x

Mein Problem sind die zweite und dritte Ableitung. Ich weiß nicht wie ich mit einem Bruch und einer Wurzel im Nenner zurecht kommen soll. Natürlich kann ich die Ableitung online berechnen, allerdings würde ich gerne verstehen wie man das macht. Könnte mir das jemand kurz erklären? Den Rest der Aufgabe kann ich wie gesagt selber.

Danke sehr.

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Ableitungen am besten mit Hochzahlen anstatt mit der Wurzel:$$f(x)=\sqrt{1+x}=\left(1+x\right)^{\frac12}$$$$f'(x)=\frac12\cdot(1+x)^{-\frac12}$$$$f''(x)=\frac12\cdot\left(-\frac12\right)(1+x)^{-\frac32}=-\frac14(1+x)^{-\frac32}$$$$f'''(x)=-\frac14\cdot\left(-\frac32\right)(1+x)^{-\frac52}=\frac38(1+x)^{-\frac52}$$Nach dem Ableiten kannst du dann alle Ergebnisse mit Wurzeln schreiben:$$f'(x)=\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x}}\quad;\quad f''(x)=-\frac14\cdot\frac{1}{\sqrt{(1+x)^3}}\quad;\quad f'''(x)=\frac38\cdot\frac{1}{\sqrt{(1+x)^5}}$$

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Danke sehr. Hilft mir sehr weiter, sehr ausführlich Danke.

Answer 2

Schreibe die Wurzeln mit Exponenten:

√y = y^(1/2)   1/√y = y^(-1/2)

f´(x)= 1/( 2* √(1+x)  ) =  1/2 * (1+x)^(-1/2) 

==> f ' ' (x) = 1/2 * (-1/2) * (1+x)^(-3/2)=  -1/4  * (1+x)^(-3/2)

f ' ' ' (x) =  -1/4  * (-3/2 ) * (1+x)^(-5/2)

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Danke sehr. Hilft mir weiter.