Wie lautet die Minimalzahl der Kekse, die vor Eintreffen des ersten Kindes im offen gewesen sein muss?

Question

Aufgabe:

Es liegt ein Zettel auf dem Tisch

"An unsere 5 Kinder, Im Backofen befinden sich Kekse. Teilt diese unter euch in gleiche Teile auf."

Nun kommt das erste kind ließt die Nachricht, teilt die Kekse in 5 Portionen auf wobei 1 Keks übrig bleibt, nimmt sich seinen Teil, vermischt die Portionen wieder und gibt den übrig gebliebenen Keks dem Hund. Es hinterlässt nun keine Nachricht das es bereits dort war. Nun kommen nacheinander das zweite, dritte, vierte und fünfte Kind und verfahren allesamt genauso wie ihre Vorgänger. Sie teilen die Kekse in 5 Portionen nehmen sich ihre, geben den einen übrigen Keks dem Hund und vermischen die Portionen wieder.

Wie lautet die Minimalzahl der Kekse, die vor Eintreffen des ersten Kindes im offen gewesen sein muss?

Überlegung:

das erste kind findet x Kekse Teilt diese durch 5 und es gibt rest 1 also x mod 5 ≡ 1

das zweite kind findet nun (x-1)*4/5 Kekse für diese muss gelten (x-1)*4/5 mod 5 ≡ 1

...

das fünfte kind findet nun (x-1)*4/5)-1)*4/5)-1)*4/5)-1)*4/5 Kekse diese müssen nun x-1 mod 5 ≡ 0 sein

aber wie komme ich da auf eine Konkrete Zahl und ist diese Überlegung Überhaupt richtig?

Comments

diese Aufgabe wurde in der Fernsehsendung 'Kopf um Kopf' in den 80'er Jahren als Publikumsaufgabe gestellt. Dort waren es Kokosnüsse und Seebrüchige auf einer Insel.

Answer 1

Hallo,

... und ist diese Überlegung Überhaupt richtig?

Ja - führe es nur konsequent weiter. Wenn das erste Kind \(x\) Kekse vorfindet, bleiben $$x_1 = \frac{4}{5}(x-1) = \frac{4}{5} x - \frac{4}{5}$$zurück. Nach dem zweiten Kind sind es$$x_2 = \frac{4}{5}\left(\frac{4}{5}x - \frac{4}{5}\right) - \frac{4}{5} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 x - \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)$$Nach dem dritten$$x_3 = \frac{4}{5}\left(\left(\frac{4}{5}\right)^2 x - \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)\right) - \frac{4}{5}=\left(\frac{4}{5}\right)^3 x -\left(\frac{4}{5}\right)^3- \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)$$und - um die Sache abzukürzen - nach dem fünften Kind$$\begin{aligned}x_5 &= \left(\frac{4}{5}\right)^5 x - \sum\limits_{k=1}^{5}\left(\frac{4}{5}\right)^k\\&= \left(\frac{4}{5}\right)^5 x - \left( \sum\limits_{k=0}^{5}\left(\frac{4}{5}\right)^k - 1\right) &&|\,\text{s. geometrische Reihe}\\ &= \left(\frac{4}{5}\right)^5 x - \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{6}}{1-\frac{4}{5}}-1\right) \\ &= \left(\frac{4}{5}\right)^5 x -\left(4-4\left(\frac{4}{5}\right)^{5}\right)\\ &= \left(\frac{4}{5}\right)^5 (x + 4) - 4\end{aligned}$$Damit am Ende noch eine ganze Anzahl von Keksen liegen bleiben - bzw. \(x_5 \in \mathbb{N}\) - muss \(x+4\) durch \(5^5\) teilbar sein.

Somit ist die kleinstmögliche Anzahl der Kekse$$x = 5^5 - 4 = 3121$$Gruß Werner

Answer 2

Achtung. Ich hatte vorher deinen Term übernommen dort machst du es aber nur mit 4 Kindern und nicht mit 5.

(((((x - 1)·4/5 - 1)·4/5 - 1)·4/5 - 1)·4/5 - 1)·4/5 = (1024·x - 8404)/3125

Damit müsste 1024·x - 8404 durch 3125 teilbar sein. Wir lösen die diophantische Gleichung

1024·x - 3125·y = 8404

Da komme ich auf x = 3121.