Aufsuchen von Polynomfunktionen - NUR Wendetangente gegeben

Question

Aufgabe:

Aufsuchen von Polynomfunktionen - NUR Wendetangente gegeben

Angabe:

Der Graph einer Funktion g(x) = x^3 + b.x + c hat die Wendetangente tw: 3x + 2y = 4. Bestimme die Funktionsgleichung s von g.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich zwar theoretisch weiß, dass der Graph und die Wendetangente einen Berührungspunkt haben und die Steigung in diesem gleich ist, ich weiß aber nicht, wo dieser Berührungspunkt zu finden ist und komme daher nicht auf die Lösung, die im Lösungsheft angegeben ist.

Danke für die Unterstüzung!

Answer 1

Der Graph einer Funktion \(g(x) = x^3 + b*x + c\) hat die Wendetangente tw: \(3x + 2y = 4\) Bestimme die Funktionsgleichung s von g.

\(3x + 2y = 4\)  →\( y = 2-1,5x\)

Die Steigung der Wendetangente beträgt \(m=-1,5\)

\(g(x) = x^3 + b*x + c\)

\(g´(x) = 3x^2 + b\)

\(g´´(x) = 6x\)

\( 6x=0  \)   Wendepunkt \(W(0|2)\)

\(g´(0) = b\)

\(b=-1,5\)

Schnittpunkt der Parabel mit Wendetangente:

\( x^3 -1,5*x + c=2-1,5x\)

\( x^3  + c=2\)  \(W(0|2)\)

\(  c=2\)

Parabel:

\(g(x) = x^3 -1,5x + 2\)

Comments

Parabel

Der Begriff "Parabel" ist evtl. irreführend.

Wenn man den benutzt, sollte man evtl. sagen eine Parabel 3. Grades. So wurden die Teile tatsächlich mal in einem uralten Mathebuch genannt.

Schöner fände ich ein Polynom 3. Grades oder eine ganzrationale Funktion 3. Grades.

Answer 2

g(x) = x^3 + b·x + c

t: 3·x + 2·y = 4 → t(x) = 2 - 1.5·x

Im Wendepunkt gilt

g''(x) = 0 --> x = 0

g'(0) = t'(0) --> b = -1.5

sowie

g(0) = t(0) --> c = 2

Also lautet die Funktion

g(x) = x^3 - 1.5·x + 2

Skizze

~plot~ x^3-1.5x+2;2-1.5x ~plot~

Answer 3

t(x):

3x+2y= 4

y= (4-3x)/2 = 2- 3/2*x

t(x) hat die Steigung -3/2

Wendepunkt:

g''(x)=0

6x= 0

x= 0 = Wendestelle

Berührstelle liefert:

g'(x) = -3/2

3x^2+b = -3/2

g'(0) = -3/2

b= -3/2

t(0) = 2 = g(0)

-> g(x) = ....

Answer 4

Wenn du 3x + 2y = 4. nach y umstellst, kannst du den Anstieg der Wendetangente ablesen.

Wenn du g''(x) bildest und gleich 0 setzt, hast du die Wendestelle.

Und wenn du das alles nicht machst und kurz wartest, bekommst du bestimmt auch die fertige Lösung.