Aufgaben zu trigonometrischer Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\sin (2 x)+2 \cdot \cos (x) \).

Gesucht sind im Intervall \( [0 ; 2 \pi] \) :
a.) der Definitionsbereich D der Funktion \( f(x) \)
b.) die Nullstellen von \( f(x) \)
c.) der Schnittpunkt von \( f(x) \) mit der \( y \)-Achse
d.) die Extrema von \( f(x) \)
e.) die Wendepunkte von \( f(x) \)

Problem/Ansatz:

Ich blick bei der Aufgabe so gar nicht durch und weiß nicht mal Ansatz weiße wie ich es lösen kann wenn mir einer von euch einen Ansatz geben würde damit ich es nachvollziehen kann wäre ich ihm sehr dankbar.

Comments

Und wo hast Du dabei was für Schwierigkeiten? Z.B. bei b), Nullstellen sind dort wo f(x) = 0, was ist hier Dein Problem?

Answer 1

a.) der Definitionsbereich D der Funktion f(x)

D = [0 ; 2pi]

b.) die Nullstellen von f(x)

f(x) = SIN(2·x) + 2·COS(x) = 0
2·SIN(x)·COS(x) + 2·COS(x) = 0
2·COS(x)·(SIN(x) + 1) = 0
COS(x) = 0 --> x = 0.5·pi ∨ x = 1.5·pi
SIN(x) = -1 → x = 1.5·pi

c.) der Schnittpunkt von f(x) mit der y-Achse

f(0) = SIN(2·0) + 2·COS(0) = 2

d.) die Extrema von f(x)

f'(x) = 2·COS(2·x) - 2·SIN(x) = 0 --> x = 1/6·pi ∨ x = 5/6·pi

y-Koordinaten bitte selber bestimmen.

e.) die Wendepunkte von f(x)

f''(x) = - 4·SIN(2·x) - 2·COS(x) = 0 --> x = 0.5·pi ∨ x = 1.5·pi ∨ x = pi + ARCTAN(√15/15) ∨ x = 2·pi - ARCTAN(√15/15)

y-Koordinaten bitte selber bestimmen.

Dann noch alles sorgfältig kontrollieren. Dazu hatte ich jetzt keine Lust mehr.

Answer 2

Nicht mal den Definitionsbereich willst du selbst angeben? Auch nicht den Schnittpunkt mit der y-Achse? sin(2·0)+2⋅cos(0) sollte schon noch machbar sein...

Für die Weiterarbeit: Wende auf sin(2x) die Doppelwinkelformel an.

Klammere dann aus dem Funktionstern den Faktor cos x aus.