extrema trigonometrischer funktionen

Question

Es solle die Extrema der folgenden Funktions gefunden werden: 2sin(3x)*cos(3x) 

Ich habe bereits die 1.ableitung  zu 6cos(6x) gebildet. Und bin bei den Nullstellen der Ableitung auf x=pi/12 +kpi/12 gekommen. Nun bin ich mir nicht ganz sicher wie ich weiter gehen soll. Wenn ich in die 2.Ableitung Pi/12 setzte bekomme ich ein Maximum. Aber wie komme ich auf das Minimum, muss ich einfach -pi/12 in die 2.Ableitung setzten oder gehe ich vollkommen falsch vor ?

Answer 1

Ich arbeite immer mit der bildlichen Vorstellung einer sin / cos Funktion.
Diese sollte man im Kopf haben bzw. jederzeit zeichnen können.

f ' ( x ) = 6·COS(6·x) = 0

cos ( z ) = 0  bei π/2, -π/2 , usw
π/2 = 6*x
x = π/12
x = -π/12

2.Ableitung
f  ´´( x ) = 6 * -sin(6 * x) * 6
f  ´´( x ) = -36 * sin ( 6 * x )

Taschenrechner
f  ´´( π/12 ) = -36 * sin ( 6 * π/12 )
f ´´( π/12 ) = -36 Hochpunkt

f  ´´( - π/12 ) = -36 * sin ( 6 * -π/12 )
f ´´( -π/12 ) = 36 Tiefpunkt

~plot~ 2*sin(3*x)*cos(3*x);[[-3.14|3.14|-2|2 ]] ~plot~

Comments

Periodenlänge cos-Funktion = 2 * π
f ' ( x ) = 6·COS(6·x) 
Periodenlänge
2 * π = 6 * x
x = π / 3

Hochpunkte
( k Element der ganzen Zahlen )
x = π/12 + k * π / 3
Tiefpunkte
x = -π/12 + k * π / 3

Answer 2

f'(x) = 6·COS(6·x) = 0

Hochpunkte

Wir suchen Nullstellen mit Übergang von plus nach minus.

6·x = pi/2 + k·2·pi --> x = pi/12 + pi/3·k

Tiefpunkte

Wir suchen Nullstellen mit Übergang von minus nach plus.

6·x = - pi/2 + k·2·pi --> x = - pi/12 + pi/3·k