Untersuchen Sie f(x)=3sin(1+2x) im Intervall (-6;5) auf Monotonie, Extrema, Nullstellen

Question

Berechnen Sie im Intervall (-6;5) die Nullstellen, Extrema und unterschen sie die Funktion f(x)=3sin(1+2x) auf Monotonie.

Answer 1

Hier mal eine Skizze der Funktion. Sie hat sieben Nullstellen. Sie liegen bei: -5*pi/3 + k*pi/2,  k={0;1; ... ; 6}

Comments

Und wie berechne ich diese sieben Nullstellen?

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Sorry, ich kann Dir im Moment nicht die ganze Kurvendiskussion machen.

Zu den Nullstellen:
Die Werte, die ich da aufgeschrieben hab stimmen nur ungefähr. (Sind falsch)
Um die Nullstellen zu bestimmen überlegst Du Dir, wann der Sinus 0 wird.
Es muss also gelten: f(x) = 3*sin(1+2x) = 0
Einfaches Auflösen nach x bringt Dich aber nicht unbedingt weiter, da Du so nur eine Nst berechnest: -1/2.
Da Du aber weißt, dass der Sinus z.B. an der Stelle pi, 2pi, 3pi, .... Null wird kannst Du das nutzen. Genauer gesagt wird der Sinus an den Stellen  pi*k mit k={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} [1] Null, also an unendlich vielen Stellen. Das bedeutet also, damit der Ausdruck sin(1+2x) Null wird, muss 1+2x = k*pi sein. Du kannst also x schreiben als x = 1/2 * (k*pi - 1) [2].
Jetzt kannst Du alle x berechnen für die sin(1+2x) Null wird (*3 lasse ich weg, da 0 * 3 ja auch 0 ist).
Um die x zu berechnen musst Du k einsetzen; wie ich aber vorhin gesagt habe gibt es unendlich viele Lösungen, Du hättest also mächtig viel zu tun.
Wenn Du jedoch noch einmal einen Blick auf die Aufgabenstellung wirfst, wirst Du feststellen, dass die möglichen Werte für x begrenzt sind; sie müssen nämlich innerhalb des Intervalls (-6;5) liegen.
Nun kannst Du entweder raten für welche k   x noch im Intervall liegt oder Du setzt einfach die Intervallgrenzen in die Gleichung [2] ein.
Machen wir das mal: -6 = 1/2 * (k*pi - 1). Nach k aufgelöst: k = -11/pi ≈ -3,5. Du wirfst einen kurzen Blick auf [1] und siehst, k darf nur ganzzahlig sein. Es kommt also -4 oder -3 in Frage. Ein kurzer Test - einsetzen des Ergebnisses in [2] - zeigt: x = 1/2 * (-4*pi - 1) = -6,8 ; liegt außerhalb des Intervalls und kommt daher nicht mehr in Frage. Die untere Grenze für k ist demnach -3.
Bei der oberen Grenze gehst Du genauso vor und erhältst: 3. Damit liegen die Grenzen von k fest und Du erhältst als Lösung: x = 1/2 * (k*pi - 1) mit k = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Du kannst natürlich noch die x-Werte ausrechnen und einzeln aufschreiben, aber das halte ich für überflüssig und umständlich.
 

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Zu den Extrema noch kurz einen Hinweis.

Ein Extremum findet sich immer an Stellen an denen die 1. Ableitung 0 wird (das bezeichnet man als notwendige Bedingung).

Die 1. Ableitung ist f'(x) = 6 * cos(1+2x) und f'(x) muss nun ebenfalls wieder 0 werden. Wie Du vielleicht schon bemerkt hast, ist das ganz ähnlich wie bei den Nullstellen. Nur gilt für den Kosinus, dass er bei pi/2 + k * pi mit k={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}   0 wird.
Eigentlich musst Du nun noch die hinreichende Bedingung prüfen, also feststellen ob es sich tatsächlich um Extremstellen handelt und nicht um Sattelpunkte. Da aber allgemein bekannt ist, dass Sinus-Funktionen keine Sattelpunkte haben kann man das weglassen. (Frag aber Deinen Lehrer, was der dazu sagt). Die hinreichende Bedingung kann man prüfen indem man die 2. Ableitung bildet und in diese die x-Werte, die man mit der 1. Ableitung ermittelt hat, einsetzt. Ist f''(x) > 0 hat man ein Minimum, f''(x) < 0 bedeutet Maximum und f''(x) = 0 bei einem Sattelpunkt. Wenn Du also genauere Aussagen machen musst zu den Extrempunkten kommst Du doch nicht umhin auch noch die 2. Ableitung zu bilden.

Eine Besonderheit kommt noch hinzu: Die Intervallgrenzen gelten ebenfalls als Extremstellen (wenn es sich um ein geschlossenes Intervall handelt), die aber durch die Ableitung nicht erfasst werden.