Aloha :)
Die Idee ist, dass jede beschränkte monotone Folge konvergiert.
Du musst also zeigen, dass
(1) Die Folge monoton ist
(2) Die Folge beschränkt ist
Wir beginnen mit der Monotonie:$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\pink{\left(1+\frac1n\right)}\cdot\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^{n\pink{+1}}}=\left(1+\frac1n\right)\frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\left(1+\frac1n\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}=\left(1+\frac1n\right)\left(\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\left(1+\frac1n\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}$$Den hinteren Faktor schätzen wir mit der Bernoulli-Ungleichung ab:$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\ge\left(1+\frac1n\right)\left(1-\frac{n+1}{(n+1)^2}\right)=\left(1+\frac1n\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{n}{n+1}=1$$Damit ist \(a_{n+1}\ge a_n\), sodass die Folge monoton wächst.
Wir müssen noch die Beschränktheit zeigen. Dazu verwenden wir den binomischen Lehrsatz und die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe:$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot1^k=\frac{1}{0!}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\le1+\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=1+2-2\left(\frac{1}{2}\right)^n=3-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<3$$
Damit ist die Konvergenz gezeigt.
