Bestimmung Matrix und ihrer Determinante

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrixgleichung \( \mathbf{X} \cdot \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C} \) mit den Matrizen

\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ -3 & 1 \end{array}\right), \quad \mathbf{C}=\left(\begin{array}{ll} 31 & 25 \\ 36 & 21 \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Matrix \( \mathbf{X} \) und ihre Determinante.

\( \mathbf{X}= \)
\( \operatorname{det} \mathbf{X}= \)

Problem/Ansatz:

Hallo könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Wie komme ich hier zu Lösung

Comments

vgl. https://www.mathelounge.de/975279/

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Könnten Sie mir bitte trotzdem die Lösung nennen? habe es eingetragen aber es wird mir ein Fehler eingezeigt

Answer 1

Die Gleichung nach X aufgelöst ergibt

X = (C - B)·A^-1.

Größtenteils kannst du die Gleichung so lösen, wie du das auch von reellen Zahlen gewohnt bist. Es gibt zwei Unterschiede.

1. Man kann nicht durch Matrizen teilen. Stattdessen multipliziert man mit der inversen Matrix. Diese muss nicht unbedingt existieren. Für A existiert sie aber, weil A vollen Rang hat.
   

2. Für die Multiplikation gilt das Vertauschungsgesetz nicht. Deshalb ist es wichtig, dass A^-1 von rechts an C-B multipliziert wird. Würdest du von links multiplizieren, dann bekämest du

   \(\begin{aligned} X\cdot A+B & =C &  & |-B\\ X\cdot A+B-B & =C-B\\ X\cdot A & =C-B &  & |\cdot A^{-1}\\ A^{-1}\cdot X\cdot A & =A^{-1}\cdot\left(C-B\right) \end{aligned}\)

   und du düftest auf der linken Seite der letzten Zeile nicht das \(A^{-1}\) und das \(A\) zur Einheitsmatrix zusammenfassen.

Comments

Bin nun auf folgende Lösungen gekommen:

6      5

11    3

Jedoch konnte ich die Determinante noch nicht lösen

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Für Determinanten gibt es eine Formel in deinen Unterlagen. Finde sie. Verwende sie.

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Können Sie mir bestätigen ob die anderen Lösungen richtig sind?

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Einsetzen, Ausrechnen. Falls du deinen Rechenfähigkeiten nicht vertraust, dann kannst du dazu auch ein Computerprogramm verwenden. Zum Beispiel wxMaxima.

A: matrix([3,1], [2,3])$
B: matrix([3,4], [-3,1])$
X: matrix([6,5], [11,3])$
X . A + B;

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Könnten Sie mir bitte trotzdem die Lösung nennen? habe es eingetragen aber es wird mir ein Fehler eingezeigt

Answer 2

Aloha :)

Vorüberlegung:$$X\cdot A+B=C\quad\big|-B$$$$X\cdot A=C-B\quad\big|\text{Matrizen einsetzen}$$$$X\cdot\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}31 & 25\\36 & 21\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 4\\-3 & 1\end{pmatrix}\quad\bigg|\text{rechts zusammenfassen}$$$$X\cdot\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}28 & 21\\39 & 20\end{pmatrix}$$

Bestimmung von \(X\):

Wir multiplizieren von rechts die Inverse Matrix zu \(A\):$$X=\begin{pmatrix}28 & 21\\39 & 20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}28 & 21\\39 & 20\end{pmatrix}\cdot\frac17\begin{pmatrix}3 & -1\\-2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 5\\11 & 3\end{pmatrix}$$

Bestimmung von \(\operatorname{det}(X)\):$$\operatorname{det}(X)=6\cdot3-11\cdot5=18-55=-37$$