Bestimmung der Determinante a

Question

Sei \( A \in \mathbb{C}^{3,3} \) und \( j \in I_{3} \). Bei der Multiplikation der \( j \)-ten Zeile von \( A \) mit 5 gilt
\( \operatorname{det}\left(E_{3,\left[Z^{j} \rightarrow 5 Z^{j}\right]} A\right)=a \operatorname{det}(A) \)
Geben Sie \( a \in \mathbb{Z} \) an.

Sei \( A \in \mathbb{C}^{3,3} \) und \( j, k \in I_{3}, j \neq k \). Beim Vertauschen der \( j \)-ten mit der \( k \)-ten Zeile von \( A \) gilt \( \operatorname{det}\left(E_{3,\left[Z^{j} \leftrightarrow Z^{k}\right]} A\right)=a \operatorname{det}(A) \)
Geben Sie \( a \in \mathbb{Z} \) an.

Sei \( A \in \mathbb{C}^{3,3} \) und \( j, k \in I_{3}, j \neq k \). Bei der Addition des 3 -fachen der \( j \)-ten Spalte zu der \( k \)-ten Spalte von \( A \) gilt \( \operatorname{det}\left(A E_{3,\left[Z^{k} \rightarrow Z^{k}+3 Z^{j}\right]}^{\top}\right)=a \operatorname{det}(A) \).
Geben Sie \( a \in \mathbb{Z} \) an.

Answer 1

Verwende den Multiplikationssatz für Determinanten

        \(\det(A\cdot B) = \det A \cdot \det B\).

Comments

kannst du mir bitte das erste vormachen?

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\(\begin{aligned} &&\det\left(E_{3,\left[Z^{j} \rightarrow 5 Z^{j}\right]} A\right)&=a \det(A)\\\implies&& \det \left(E_{3,\left[Z^{j} \rightarrow 5 Z^{j}\right]}\right)\cdot \det\left(A\right)&=a \det(A)& | : \det (A)\\&&\det \left(E_{3,\left[Z^{j} \rightarrow 5 Z^{j}\right]}\right)&=a\end{aligned} \)

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was wäre da aber jz a für ein Wert?

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Der Wert von \(a\) ist die Determinante von \( E_{3,\left[Z^{j} \rightarrow 5 Z^{j}\right]}\).

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es muss aber ne Ganze Zahl sein, auf die ich nicht komme

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Hast du schon die Matrix \( E_{3,\left[Z^{j} \rightarrow 5 Z^{j}\right]}\) bestimmt?

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ne dreidimensionale Einheitsmatrix mit 1 als diagonale ?

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Die Matrix, mit der man \(A\) von links multiplizieren muss damit das Ergebnis sich dadurch von \(A\) unterscheidet, dass die \(j\)-te Zeile mit 5 multipliziert wurde.