Zeigen Sie, dass ein Polynom nten Gerades auf R eine globale Extremstelle besitzt.

Question

Aufgabe:

Sei p: R-> R ein Polynom geraden Grades mit n element N gerade und an ungleich 0. Zeigen Sie, dass p auf R eine globale Extremstelle besitzt.

Als Hinweis ist der Satz über Minimum und Maximum gegeben:

Problem/Ansatz:

Für den Satz über Minimum und Maximum brauche ich doch eine kompakte Funktion, oder? Eine solche habe ich ja nicht gegeben, desshalb dachte ich man könnte das ganze auch so begründen:

Text erkannt:

Eine Funktion wird im unendlichen durch den Term ihrer gröten Ordnung definiert.
In diesem Fall ist das der Term \( a_{n} x^{n}, n \in \mathbb{N} \) gerade \( a_{n} \neq 0 \)
Unterscheidung van 2 Fällan
Stetigkeit \( f(x)=x \)
\( \left|x-x_{0}\right|<\varepsilon=\delta \rightarrow f(x)=x \) ist stetig.
Da \( f(x)=x \) und \( h(x)=x \) stelig, ist auch \( f(x) \cdot h(x)=x \cdot x=x^{2} \) stetig
Da \( f(x)=x \) stetig, ist auch \( \alpha \cdot f(x)=\alpha \cdot x \) stetig.
\( \Rightarrow \) Die Funktion eines Polynoms ist stetig.
Da sowohl forr \( a_{n}>0 \), als auch \( a_{n}<0 \) für \( x \rightarrow \pm \infty \) den selben Grenzwert hat und \( p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n n} x^{n-1}+\ldots+a_{n} x+a_{0} \) stetig ist, muss es eine glabale Extremstelle, also ein \( x_{x} \) mit
\( \underbrace{p\left(x_{x}\right)=\min _{x \in \mathbb{R}} p(x)}_{\text {fir } a_{n}>0} \quad \text { oder } \quad \underbrace{p\left(x_{*}\right)=\max _{x \in \mathbb{R}} p(t)}_{\text {for } a_{n}<0} \)
geben.

geht das so?

Answer 1

Hallo,

Du hast einige wichtige Ansätze zusammengetragen. Ich würde es etwas konkreter aufschreiben.

Zunächst: Es geht nicht um "kompakte Funktionen", sondern um den Satz: Ein stetige Funktion auf einem kompakten Definitionsbereich nimmt Maximum und Minimum an.

Weil die Werte \(|P(x)|\) für große \(|x|\) beliebig groß werden, kann man sich auf eine kompakte Teilmenge beschränken. Das kann man etwa so genauer notieren - ich betrachte nur den Fall \(a_n>0\):

Definiere: \(D:=\{x \in \mathbb{R} \mid P(x) \leq a_0\}\). Dann gilt:

1. D ist nicht leer; denn \( 0 \in D\) wegen \(P(0)=a_0\)

2. D ist abgeschlossen. Das ist eine allgemeine Eigenschaft stetiger Funktionen, die Ihr wahrscheinlich mal besprochen habt.

3. D ist beschränkt. Hier kommen jetzt die Eigenschaften des Polynoms zum Tragen: Wenn D nicht beschränkt wäre, dann gäben es eine Folge \((x_j)\) in D mit \(|x_j| \to \infty\). Es gilt für \(x \neq 0\)$$P(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k=x^n(a_n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^{k-n})$$

Wenn jetzt \(|x| \to \infty\), dann geht die Summe in der Klammer gegen 0 und die Klammer gegen \(a_n\). Für hinreichend große j haben wir also

$$P(x_j) \geq 0.5a_nx^n_j \to \infty$$

Das widerspricht aber der Definition von D.

Damit ist D nichtleer, abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Und P besitzt auf D ein Minimum. Das ist auch ein globales Minimum für P; denn außerhalb von D sind alle Funktionswerte \(P(x)>0\).

Gruß Mathhilf