Es gilt lim n -› 0 an = a genau dann, wenn Re(an) -› Re(a) für n -› unendlich und Im(an) -› Im(a) für n -› unendlich

Question

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Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge komplexer Zahlen. Wir nennen \( a \in \mathbb{C} \) einen Grenzwert von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) (in Symbolen: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \) ) genau dann, wenn
\( \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n \geq n_{0}: \quad\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon . \)
Zeige: Es gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \) genau dann, wenn \( \operatorname{Re}\left(a_{n}\right) \rightarrow \operatorname{Re}(a) \) für \( n \rightarrow \infty \) und \( \operatorname{Im}\left(a_{n}\right) \rightarrow \operatorname{Im}(a) \) für \( n \rightarrow \infty \).

Aufgabe:

Answer 1

Sei \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \)

und sei für alle n∈ℕ  \( a_{n}=x_{n} + i \cdot y_{n} \)   und   \( a=x + iy \).

Nach Def. von \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \) folgt

\(\forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n \geq n_{0}: \quad\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon . \)

==>  \(  \quad\left|x_{n} + i \cdot y_{n} -(x + iy )\right|<\varepsilon \)

==>  \(  \quad\left|x_{n} -x + i \cdot (y_{n} - y) \right|<\varepsilon \)

Def. von Betrag in ℂ

==>  \(   \sqrt{ (x_{n} -x)^2   +  (y_{n} - y)^2 }<\varepsilon \)

==>   \(  \sqrt{ (x_{n} -x)^2  }<\varepsilon \) und   \(  \sqrt{(y_{n} - y)^2 }<\varepsilon \)

==>   \(  |x_{n} -x|<\varepsilon \) und \( |y_{n} - y|<\varepsilon \)

Also gibt es zu jedem ε>0 ein no∈ℕ , so dass für alle n∈ℕ mit n>no gilt

\(  |x_{n} -x|<\varepsilon \) und \( |y_{n} - y|<\varepsilon \)

==>     \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \) und   \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=y \)

also  \( \operatorname{Re}\left(a_{n}\right) \rightarrow \operatorname{Re}(a) \)

und \( \operatorname{Im}\left(a_{n}\right) \rightarrow \operatorname{Im}(a) \).

Umgekehrte Richtung entsprechend.