Ich lass mal bei dem Limes das n gegen unendlich weg, dann hast du
lim cn =∞ heißt: Für jedes K∈ℝ gibt es ein N∈ℕ so dass
für alle n>N gilt cn > K #
Wenn das nun erfüllt ist und du willst beweisen lim 1/cn = 0
dann kannst du so vorgehen:
Sei ε>0. Dann ist auch 1/ε > 0 und nach # gibt es für dieses
1/ε (Das sit jetzt das K ) ein N∈ℕ so dass
für alle n>N gilt cn > 1/ε .
Da cn und ε beide größer 0 sind , kann man mit ε
multiplizieren und durch cn dividieren und hat dann
ε > 1/cn
Es gibt also ein N∈ℕ so dass
für alle n>N gilt ε > 1/cn oder eben
1/cn < ε
und da cn > 0 ist das gleichbedeutend mit
| 1/cn - 0 | < ε .
Also lim 1/cn = 0 .
Umgekehrt geht es entsprechend.