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Hallo Mathe-lounger!

Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe:

Sei (cn)n∈ℕ eine Folge mit cn > 0 für alle n∈ ℕ. Zeigen Sie:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) cn = ∞ ⇔ \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{1}{cn} \) = 0

[Bemerkung: bei dem Bruch soll das ebenfalls ein cn sein)


Ich hatte die Idee, dass ich mit der Definition der Konvergenz arbeiten könnte (also mit ε), habe aber jeden dieser Ansätze verworfen, da ich nicht wusste, wie ich da weiter vorangehen soll. Ich wäre für jeden Tipp oder Ansatz dankbar.


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Das mit dem Epsilon könnte schon klappen.

Weil (cn) --> unendlich, findest du ein n_0 ab dem alle Folgenglieder c_n grösser als ein vorgegebenes 1/epsilon sind.

1 Antwort

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Ich lass mal bei dem Limes das n gegen unendlich weg, dann hast du

lim cn =∞   heißt:  Für jedes K∈ℝ gibt es ein N∈ℕ so dass
                                für alle n>N gilt  cn > K        #

Wenn das nun erfüllt ist und du willst beweisen lim 1/cn = 0

dann kannst du so vorgehen:

Sei ε>0.   Dann ist auch 1/ε > 0 und nach # gibt es für dieses

1/ε  (Das sit jetzt das K ) ein N∈ℕ so dass

          für alle n>N gilt  cn >  1/ε     .

Da cn und ε   beide größer 0 sind , kann man mit ε

multiplizieren und durch cn dividieren und hat dann

                                 ε    > 1/cn

Es gibt also ein N∈ℕ so dass

 für alle n>N gilt    ε    > 1/cn  oder eben

                            1/cn   <     ε

und da cn > 0 ist das gleichbedeutend mit

                           | 1/cn   - 0  |  <     ε .

Also lim 1/cn = 0 .

Umgekehrt geht es entsprechend.

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