Infimum und Supremum müssen nicht in der Menge sein, oder?

Question

Hey,

folgende Situation:

Es sei x ein Element der rationalen Zahlen. Nun haben wir eine Menge gegeben, die wie folgt definiert ist:

\( \sqrt{2} \)  ≤ x < \( \sqrt{7} \)

Gehe ich recht in der Annahme, dass hierbei \( \sqrt{2} \) das Infimum ist, jedoch nicht das Minimum da es nicht in der Menge enthalten ist? \( \sqrt{7} \) wäre meiner Meinung nach das Supremum, jedoch nicht das Maximum.

Ist das soweit korrekt? Ich weiß nicht warum, irgendwie bin ich mir gerade da unsicher.

Danke schonmal!!!

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vgl:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Supremum_und_Infimum

Answer 1

Das ist soweit korrekt.

Wenn du dir unsicher bist, dann schau in die Definition.

Finde in der Definition den Teil, aus dem folgt, Infimum und Supremum nicht notwendigerweise zu der Menge gehören müssen.

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Gehe ich recht in der Annahme, dass hierbei \( \sqrt{2} \) das Infimum ist, jedoch nicht das Minimum da es nicht in der Menge enthalten ist? \( \sqrt{7} \) wäre meiner Meinung nach das Supremum, jedoch nicht das Maximum.

Das ist soweit korrekt.

Wohl nicht! Wenn die Menge durch  √2  ≤  x < √7   festgelegt ist, gehört √2 zur Menge und √7 nicht.

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Es gilt \(\sqrt{2} \notin \{x\in \mathbb{Q} |\, \sqrt{2} \leq x < \sqrt{7}\}\) wegen \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}\).

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Du hast natürlich recht! Sorry für mein schlampiges Lesen des Textes.