Zeigen Sie, dass (g_{1} \circ g_{2})^{-1}=g_{2}^{-1} \circ g_{1}^{-1} für alle g_{1}, g_{2} ∈ G gilt.

Question

Aufgabe:

Seien \( (G, \circ),(H, \cdot) \) Gruppen. Zeigen Sie, dass \( \left(g_{1} \circ g_{2}\right)^{-1}=g_{2}^{-1} \circ g_{1}^{-1} \) für alle \( g_{1}, g_{2} \in G \) gilt.

Danke im voraus

Answer 1

Aloha :)

Die Inverse Element zu \((g_1\circ g_2)\) sei \(x\), das heißt:\(\;x\coloneqq(g_1\circ g_2)^{-1}\).

Sei weiter \(1\) sei das neutrale Element der Gruppe \(G\), dann gilt:$$\left.x\circ(g_1\circ g_2)=1\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\circ g_1)\circ g_2=1\quad\right|\;\cdot g_2^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.((x\circ g_1)\circ g_2)\circ g_2^{-1}=1\circ g_2^{-1}=g_2^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\circ g_1)\circ \pink{(g_2\circ g_2^{-1})}=g_2^{-1}\quad\right|\;\pink{(g_2\circ g_2^{-1})=1}$$$$\left.x\circ g_1=g_2^{-1}\quad\right|\;\cdot g_1^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(x\circ g_1)\circ g_1^{-1}=g_2^{-1}\circ g_1^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.x\circ \green{(g_1\circ g_1^{-1})}=g_2^{-1}\circ g_1^{-1}\quad\right|\;\green{(g_1\circ g_1^{-1})=1}$$$$x=g_2^{-1}\circ g_1^{-1}\quad\big|\;\;x=(g_1\circ g_2)^{-1}$$$$(g_1\circ g_2)^{-1}=g_2^{-1}\circ g_1^{-1}$$

Answer 2

Löse die Gleichung

        \((g_1\circ g_2) \circ a = 1\)

auf zwei Arten.

Comments

Hallo. Vielen Dank für die Antwort, dennoch verstehe ich nicht ganz, was du unter zwei Arten genau meinst. Mich verunsichern auch voll diese "Kringeln" um ehrlich zu sein, ich weiß nicht genau wie ich mit denen arbeiten soll. Danke im voraus

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Löse die Gleichung

        \((g_1\circ g_2) \circ x = 1\)

nach \(x\).

Mit den Kringeln arbeitet man so, wie das in der Definition von Gruppe angegeben ist. Das heißt

• \((p\circ q) \circ r\) hat den gleichen Wert wie \(p\circ (q \circ r)\),
  
• \(p\circ 1\) und \(1\circ p\) ergeben \(p\) und
  
• zu jedem \(p\) gibt es ein \(p'\) mit \(p\circ p' = 1\).

Das kennst du alles schon von der Multiplikation positiver Zahlen. Einziger wirklicher Unterschied ist, dass das Vertauschungsgesetz nicht mehr gilt.