Ich würde fast vermuten, da hat jemand beim Stellen der Aufgabe nicht aufgepasst und mein eigentlich die Rekursion an + an-1 - 4an-2 - 4an-3 = 0
Die ist nämlich relativ leicht zu lösen (und führt auf das Ergebnis
an = -(-2)n+2*(-1)n+3*2n
Du hast aber Recht mit dem charakteristischen Polynom, das lautet:
P(x) = x3 - x2 + 4x + 4
Dessen Nullstellen lassen sich nur Recht schwer finden, was daran liegt, dass es nur eine reelle Nullstelle hat, wie der Mathecoach schon bemerkt hat. Möglich ist die Lösung natürlich trotzdem aber sehr, sehr aufwändig.
Mit den cardanischen Formeln erhält man die Nullstellen des Polynoms als
$$ \begin{array} { l } { x _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } \left( 1 - \frac { 11 } { \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } + \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } \right) } \\ { x _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } + \frac { 11 ( 1 - i \sqrt { 3 } ) } { 6 \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } - \frac { 1 } { 6 } ( 1 + i \sqrt { 3 } ) \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } \\ { x _ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } + \frac { 11 ( 1 + i \sqrt { 3 } ) } { 6 \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } - \frac { 1 } { 6 } ( 1 - i \sqrt { 3 } ) \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } \end{array} $$
Und damit die allgemeine Lösung des Problems als:
an = c1 x1n + c2x2n + c3x3n
Problematisch wird es jetzt allerdings, die Konstanten auszurechnen. Da das Ergebnis eine reelle Zahl sein muss, weiß man auf jeden Fall, dass c2=c3*, also Re(c2)=Re(c3) und Im(c2)=-Im(c3) gelten muss. Damit "vereinfacht" sich die Rechnung zwar ein bisschen und natürlich ist sie auch prinzipiell möglich, aber da die Aufgabe nur 5 Punkte gibt, schätze ich, dass sich hier einfach jemand vertan hat.
Dozenten und Übungsleiter sind ja auch nur Menschen.
