Differentialgleichungssyteme lösen/bestimmen.

Question

Aufgabe: Es handelt sich wieder um Differentialgleichungssysteme. Ich habe wieder Aufgaben dazu gelöst. Könnte wieder jemand einen Blick werfen und meine Fehler ggf. korrigieren? Bei m) konnte ich die Matrix nicht lösen. Kann es sein, dass ich mich verrechnet habe? Bei k) bin ich mir nicht sicher, ob alle Rechenschritte  korrekt sind.

Problem/Ansatz:

m)
$\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=2 y_{1}+y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=3 y_{2}+e^{x} \end{array} \quad\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ e^{x} \end{array}\right)$
$\begin{array}{l} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{array}\right) \\ \text { 1.F: } \lambda-\frac{5}{2} \geqslant 0 \\ \lambda-\frac{5}{2}=\frac{1}{4} \\ \lambda=\frac{11}{4} \end{array}$
$\begin{array}{l} 2 . \mp: \quad \begin{array}{l} \lambda-\frac{5}{2}<0 \\ \lambda-\frac{5}{2}=-\frac{1}{4} \\ \lambda=\frac{9}{4} \end{array} \\ \lambda=\frac{11}{4} \quad\left(\begin{array}{cc} 2-\frac{11}{4} & 1 \\ 0 & 3-\frac{11}{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} -\frac{3}{4} & 1 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}\right) \underset{\cdot 4}{\sim 0}\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{4} & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) 1 \cdot(-4) \end{array}$
$\left(\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 0 & 1 \end{array}\right)_{4 \pi+エ}^{\sim}\left(\begin{array}{rr} 3 & -4 \\ 3 & 0 \end{array}\right)$
$\lambda=\frac{9}{4}\left(\begin{array}{cc} 2-\frac{9}{4} & 1 \\ 0 & 3-\frac{9}{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -\frac{1}{4} & 1 \\ 0 & \frac{3}{4} \end{array}\right)$

1) k)
$y_{1}^{\prime}=2 y_{1}-y_{2}+e^{x}$
$y_{2}^{\prime}=3 y_{1}-2 y_{2}+e^{-x}$
$y_{k}$
$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & -1 \\ 3 & -2-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda) \cdot(-\lambda-\lambda)+3=-4-2 \lambda+2 \lambda+\lambda^{2}+3$
$=\lambda^{2}-1 \Leftrightarrow \lambda^{2}=1$
$\lambda=\pm 1$
$\lambda=1 \quad\left(\begin{array}{ll|l}1 & -1 & 0 \\ 3 & -3 & 0\end{array}\right)^{I-3 I} \sim\left(\begin{array}{cc|l}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E V=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)$
$\lambda=-1\left(\begin{array}{ll}3 & -1 \\ 3 & -1\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E Y=\left(\begin{array}{l}\frac{1}{6} \\ 1\end{array}\right)$
$y_{k}=c_{1} \cdot e^{x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{-x}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 1\end{array}\right)$
$Y=\left(\begin{array}{cc}e^{x} & \frac{1}{3} e^{-x} \\ e^{x} & e^{-x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1}{ }^{\prime} \\ c_{2}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}e^{x} \\ e^{-x}\end{array}\right)$
$\Rightarrow c_{1}=\int \frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{-2 x} d x=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) e^{-2 x}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{4} e^{-2 x}$
$c_{2}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{x} & e^{x} \\ e^{x} & e^{-x}\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}e^{x} & \frac{1}{3} e^{-x} \\ e^{x} & e^{-x}\end{array}\right)}=\frac{1-e^{2 x}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-e^{2 x}}{\frac{2}{3}}=\left(1-e^{2 x}\right) \cdot \frac{3}{2}$
$c_{2}=\int \frac{\left(1-e^{2 x}\right) \cdot 3}{2} d x=\left(1-\frac{1}{2} e^{2 x}\right) \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4} e^{2 x}$

Answer 1

Hallo,

zu m)

Die Eigenwerte sind falsch, richtig sind 2 und 3.

Comments

Wie bist du auf 2 und 3 gekommen? Bei mir kommen komplett andere Werte.

Hast du auch (λ - 5/2)^2 = $\frac{1}{4}$  rausbekommen?

---

Ja - und was hast Du dann gemacht??

Übrigens hätte man die Nullstellen noch vor dem Ausmultiplizieren erkennen können.

---

Achhh, ich hätte hier gar nicht quadratisch ergänzen müssen. Die Nullstellen kann man ja ablesen. Aber auch wenn ich quadratisch ergänze, trotzdem sollte doch derselbe Werte rauskommen, oder?

---

Oder man kann hier gar nicht quadratisch ergänzen, macht ja auch kein Sinn oder?

---

Doch, Du kannst doch sofort überprüfen, dass 2 und 3 auch Deine obige quadratisch ergänzte Gleichung erfüllen.

---

Und wie muss das überprüfen?

---

Und das ist nun die korrigierte Version, hab m) erneut ausgerechnet. Passt die Rechnung jetzt?

m)
$\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=2 y_{1}+y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=3 y_{2}+e^{x} \\ \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{array}\right)=(2-\lambda) \cdot(3-\lambda) \end{array}$
$\lambda=2 \quad\left(\begin{array}{ll|l} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \Rightarrow E Y=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)$
$\lambda=3 \quad\left(\begin{array}{cc|c} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \Rightarrow E V=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)$
$\begin{array}{l} y_{h}=c_{1} \cdot e^{2 x}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{3 x} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \\ \psi=\left(\begin{array}{cc} e^{2 x} & e^{3 x} \\ -e^{2 x} & e^{3 x} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ll} e^{2 x} & e^{3 x} \\ -e^{2 x} & e^{3 x} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} c_{1}^{\prime} \\ c_{2}^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ e^{x} \end{array}\right) \end{array}$
$\begin{array}{l} c_{1}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 0 & e^{3 x} \\ e^{x} & e^{3 x} \end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} e^{2 x} & e^{3 x} \\ -e^{2 x} & e^{3 x} \end{array}\right)}=\frac{-e^{4 x}}{e^{5 x}+e^{5 x}}=\frac{-e^{4 x}}{2 e^{5 x}}=-\frac{1}{2} e^{-x} \\ c_{1}=\int\left(-\frac{1}{2} e^{-x}\right) d x=+\frac{1}{2} e^{-x} \end{array}$

$c_{2}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{2 x} & 0 \\ -e^{2 x} & e^{x}\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{2 x} & e^{3 x} \\ -e^{2 x} & e^{3 x}\end{array}\right)}=\frac{e^{3 x}}{e^{5 x}+e^{5 x}}=\frac{e^{3 x}}{2 e^{5 x}}=\frac{1}{2} e^{-2 x}$
$c_{2}=\int\left(\frac{1}{2} e^{-2 x}\right) d x=\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) e^{-2 x}=-\frac{1}{4} e^{-2 x}$
$y_{p}=\left(\begin{array}{cc}e^{2 x} & e^{3 x} \\ -e^{2 x} & e^{3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}+\frac{1}{2} e^{-x} \\ \left(-\frac{1}{4}\right) e^{-2 x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} e^{x}-\frac{1}{4} e^{x} \\ -\frac{1}{2} e^{x}-\frac{1}{4} e^{x}\end{array}\right)$
$y=c_{1} \cdot e^{2 x}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{3 x} \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)+e^{x}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\end{array}\right)$

---

Ich habe für λ =2 den Eigenvektor:

$\begin{pmatrix} 1\\0\\ \end{pmatrix}$

für  λ =3 habe ich den gleichen Eigenvektor, wie Du.

---

Wieso (1 0) ? Kommt da nicht (1 -1) ? Oben habe ich zwar in der 2.Zeile und 2.Spalte 1 und 0 stehen, aber aus der Null wird dann eine eins.

---

hier hast Du einen Rechner zum Thema Eigenwerte und Eigenvektoren:

https://matrixcalc.org/de/vectors.html

Vielleicht hilft das.

---

Danke, aber ich kann mir nicht erklären, warum (1 -1) falsch sein sollte, da wo 0 ist kommt -1 hin, oder nicht?

---

Berechnung der Eigenvektoren:

---

Erstmal vielen Dank für deine Erklärung!

Was ich nicht verstehe: In der VO haben wir aus der 0 eine -1 gemacht und so dann weitergerechnet. Bei mir kommt für λ=2 auch (1 0) heraus und daraus wurde dann (1 -1). So sind wir zumindest immer vorgegangen. Jetzt bin ich verwirrt und kann mir nicht erklären, wann ich das machen darf.