Aufgabe: Es handelt sich wieder um Differentialgleichungssysteme. Ich habe wieder Aufgaben dazu gelöst. Könnte wieder jemand einen Blick werfen und meine Fehler ggf. korrigieren? Bei m) konnte ich die Matrix nicht lösen. Kann es sein, dass ich mich verrechnet habe? Bei k) bin ich mir nicht sicher, ob alle Rechenschritte korrekt sind.
Problem/Ansatz:
m)
\( \begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=2 y_{1}+y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=3 y_{2}+e^{x} \end{array} \quad\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ e^{x} \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{array}\right) \\ \text { 1.F: } \lambda-\frac{5}{2} \geqslant 0 \\ \lambda-\frac{5}{2}=\frac{1}{4} \\ \lambda=\frac{11}{4} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} 2 . \mp: \quad \begin{array}{l} \lambda-\frac{5}{2}<0 \\ \lambda-\frac{5}{2}=-\frac{1}{4} \\ \lambda=\frac{9}{4} \end{array} \\ \lambda=\frac{11}{4} \quad\left(\begin{array}{cc} 2-\frac{11}{4} & 1 \\ 0 & 3-\frac{11}{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} -\frac{3}{4} & 1 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}\right) \underset{\cdot 4}{\sim 0}\left(\begin{array}{cc} -\frac{3}{4} & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) 1 \cdot(-4) \end{array} \)
\( \left(\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 0 & 1 \end{array}\right)_{4 \pi+エ}^{\sim}\left(\begin{array}{rr} 3 & -4 \\ 3 & 0 \end{array}\right) \)
\( \lambda=\frac{9}{4}\left(\begin{array}{cc} 2-\frac{9}{4} & 1 \\ 0 & 3-\frac{9}{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -\frac{1}{4} & 1 \\ 0 & \frac{3}{4} \end{array}\right) \)
1) k)
\( y_{1}^{\prime}=2 y_{1}-y_{2}+e^{x} \)
\( y_{2}^{\prime}=3 y_{1}-2 y_{2}+e^{-x} \)
\( y_{k} \)
\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & -1 \\ 3 & -2-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda) \cdot(-\lambda-\lambda)+3=-4-2 \lambda+2 \lambda+\lambda^{2}+3 \)
\( =\lambda^{2}-1 \Leftrightarrow \lambda^{2}=1 \)
\( \lambda=\pm 1 \)
\( \lambda=1 \quad\left(\begin{array}{ll|l}1 & -1 & 0 \\ 3 & -3 & 0\end{array}\right)^{I-3 I} \sim\left(\begin{array}{cc|l}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E V=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \)
\( \lambda=-1\left(\begin{array}{ll}3 & -1 \\ 3 & -1\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E Y=\left(\begin{array}{l}\frac{1}{6} \\ 1\end{array}\right) \)
\( y_{k}=c_{1} \cdot e^{x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{-x}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 1\end{array}\right) \)
\( Y=\left(\begin{array}{cc}e^{x} & \frac{1}{3} e^{-x} \\ e^{x} & e^{-x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1}{ }^{\prime} \\ c_{2}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}e^{x} \\ e^{-x}\end{array}\right) \)
\( \Rightarrow c_{1}=\int \frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{-2 x} d x=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) e^{-2 x}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{4} e^{-2 x} \)
\( c_{2}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{x} & e^{x} \\ e^{x} & e^{-x}\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}e^{x} & \frac{1}{3} e^{-x} \\ e^{x} & e^{-x}\end{array}\right)}=\frac{1-e^{2 x}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-e^{2 x}}{\frac{2}{3}}=\left(1-e^{2 x}\right) \cdot \frac{3}{2} \)
\( c_{2}=\int \frac{\left(1-e^{2 x}\right) \cdot 3}{2} d x=\left(1-\frac{1}{2} e^{2 x}\right) \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4} e^{2 x} \)
