Zeigen Sie, dass a_{n} \frac{1}{5} für alle n ∈ ℕ ist.

Question

Aufgabe:

Die rekursiv definierte Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) sei gegeben durch
\( a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{3+5 a_{n}}{20} \quad(n \in \mathbb{N}) . \)
1. Zeigen Sie, dass \( a_{n}>\frac{1}{5} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist.
2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) streng monoton fallend ist.
3. Folgern Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Answer 1

1. mit vollst. Induktion.

Für n=1 erfüllt , und angenommen für ein n gilt a_n > 0,2 dann

     5a_n > 1

==> 3+5a_n > 4

==> (3+5a_n) / 20  > 0,2

==>   a_n+1 > 0,2 .

2. Betrachte \(    a_{n}-a_{n+1} \)

\(   =a_{n} -\frac{3+5 a_{n}}{20} = \frac{20a_{n}}{20}  -\frac{3+5 a_{n}}{20}=\frac{-3+15 a_{n}}{20} \)

Und wegen a_n > 0,2 ist 15a_n > 3 also -3+15a_n > 0 .

Also immer \(    a_{n}-a_{n+1} \gt 0 \)  also \(    a_{n} \gt a_{n+1} \)    q.e.d.

Monoton fallend und nach unten beschränkt ==> konvergent

Und für den Grenzwert g gilt

\(   g=\frac{3+5g}{20}  \) <=>   \(  20g=3+5g\) <=>  \(  g=0,2\)