Ist die Potenzmenge, wenn die Leere Menge schon in der Menge enthalten ist 2^n-1, oder habe ich einfach was vergessen?

Question

Aufgabe:

Für eine Menge M bezeichne P (M) die Potenzmenge von M . Geben Sie folgende Mengen an:

a) P({17, 42})

b) P(P({17, 42}))

Problem/Ansatz:

a) P(M) = {(∅), (17), (42), (17, 42)}

b) P(M) = {(∅), (17), (42), (∅, 17), (∅, 42), (17, 42), (∅, (17, 42)), (17, (17, 42)), (42, (17, 42)), (∅, 17, 42), (∅, 17, (17, 42)), (∅, 42, (17, 42)), (17, 42, (17,42)) (∅, 17, 42, (17, 42))}

Vor allem bei der b) bin ich mir relativ sicher, dass es falsch ist, da die Potenzmenge doch 2^n sein sollte und somit 16 und nicht wie bei mir 15. Ist die Potenzmenge, wenn die Leere Menge schon in der Menge enthalten ist 2^n-1, oder habe ich einfach was vergessen?

Answer 1

a) P(M) = {(∅), (17), (42), (17, 42)}

Da musst du auf die Schreibweise achten

      a) P(M) = {∅, {17}, {42}, {17, 42} }.

b) P( {∅, {17}, {42}, {17, 42} }) = { ∅ , (∅), (17), (42), (∅, 17), (∅, 42), (17, 42), (∅, (17, 42)), (17, (17, 42)), (42, (17, 42)), (∅, 17, 42), (∅, 17, (17, 42)), (∅, 42, (17, 42)), (17, 42, (17,42)) (∅, 17, 42, (17, 42))}

Hier hast du die leere Menge selbst vergessen (in rot ergänzt) . Und Schreibweise !

Comments

Danke für die Antwort, zwei vielleicht etwas dumme Fragen, aber wieso verwendest du bei a) für die Potenzmengen {...} und bei b) (...)?

Und was genau ist der Unterschied zwischen (∅) und ∅?

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Die runden Klammern sollte man in diesem Zusammenhang nur für die Schreibweise  P(M)  (für die Potenzmenge einer Menge M) benützen.

Auf der rechten Seite der Aufzählung  P(M) = {{}, {.......}, ......., M}  braucht man nur geschweifte Klammern.

Das Symbol  ∅  steht für die leere Menge, die man auch so notieren kann:  { } .

Die Menge ∅  besitzt kein Element, die Menge  {∅}  aber eines.

Die Schreibweise  (∅) , die du oben auch verwendet hast, ist hier unangebracht.

Zu deiner Ausdrucksweise:

" die Potenzmenge ist 2ⁿ "  ist falsch. Gemeint hast du wohl:  " die Potenzmenge hat 2ⁿ  Elemente "  oder  (gleichbedeutend:  " die Potenzmenge (einer Menge mit n Elementen) hat die Mächtigkeit  2ⁿ "

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Bei b) hatte ich deine Version kopiert und keine Lust

alle ( in { umzuwandeln etc.

∅ ist die leere Menge (kein Element drin)

und {∅} ist die Menge, die als einziges Element die
              leere Menge enthält, also nicht leer ist.

Answer 2

Hallo,

da die andere Antwort meiner Meinung nach falsch ist, schreibe ich einmal meine Lösung auf.

a) P({17; 42}) = {∅, {17}, {42}, {17, 42}}   2^2 bzw. 4 Elemente

b) P(P({17; 42}))               2^4 bzw. 16 Elemente

 = {    ∅,

  {∅},   {{17}},   {{42}},   {{17, 42}},

  {∅, {17}},  {∅,{42}},  {∅, {17, 42}},

  {{17},{42}},  {{17},{17,42}} , {{42},{17,42}}

   {∅, {17}, {42}},   {∅, {17}, {17,42}},

    {∅, {42}, {17, 42}},   {{17}, {42}, {17, 42}},

   {∅, {17}, {42}, {17, 42}}      }