zeigen sie, dass lim n→∞ (a_n) = 0,5

Question

Aufgabe:

a_n = sqrt(n + sqrt(n)) - sqrt(n)

zeigen sie, dass lim n→∞ (a_n) = 0,5

Problem/Ansatz:

ich soll diesen grenzwert zeigen, krieg a_n aber nicht passend umgeformt.

Answer 1

\(    \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n})(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}=\frac{n+\sqrt{n}-n}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}\)

\( =\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}\)  mit √n kürzen

\( =\frac{1}{\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}}}{\sqrt{n}} + 1}  =\frac{1}{\sqrt{\frac{n + \sqrt{n}}{n}} + 1}=\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{ \sqrt{n}}} +1}\)

Und  \(  \frac{1}{ \sqrt{n}}\) geht gegen 0.