Funktion untersuchen, Asymptoten

Question

Aufgabe:

Es sei f : R→R definiert durch

\(\displaystyle f(x)=\frac{2 x^{2}-3 x+\sqrt{|x|}}{|x|+4} \)

Untersuchen Sie die Funktion auf das vorliegen von schrägen Asymptoten für x→∞ und für x→-∞ und geben Sie diese gegebenenfalls an.

Problem/Ansatz:

Hallo

Kann jemand das vorrechnen, wäre ich dankbar.

Answer 1

Zunächst mal machst du eine Fallunterscheidung für x gegen - unendlich und x gegen + unendlich.

Dann Klammerst du x im Zähler und Nenner aus und kürzt das ausgeklammerte x und bestimmt dann den Grenzwert.

Ich denke du kommst auf

y = 2·x - 11
y = - 2·x - 5 _{** Nach Kommentar korrigiert **}

Das sollten also deine schrägen Asymptoten sein.

Skizze

~plot~ (2x^2-3x+sqrt(abs(x)))/(abs(x)+4);2x-11;-2x-5;[[-60|60|-40|40]] ~plot~

Comments

Mit Polynomdivision bekommen ich y= 2x-11 und y=-2x-5

Ist es richtig?

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Ja. Das sieht prima aus. Ich passe das mal oben grafisch an.

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Moin,

1. falls \( \lim\limits_{x\to\infty} \)(f(x)-px-q) = 0

2. dann \( \lim\limits_{x\to\ +- ∞} \) \( \frac{f(x)}{x} \) = p

3. und \( \lim\limits_{x\to\ +- ∞} \) f(x)-px = q

und die Asymptote ist dann y = p x q

wir hatten so eine Methode gelernt, aber was setzte ich für x ein?

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Du machst also erstmal eine Fallunterscheidung

x > 0

und eine Polynomdivision

(2·x^2 - 3·x + √x)/(x + 4) = 2·x - 11 + (√x + 44)/(x + 4)

Der Restterm (√x + 44)/(x + 4) geht für x gegen unendlich gegen null.

2·x - 11 ist die schräge Asymptote für x > 0

Das Gleiche machst du dann noch für den negativen Bereich x < 0.