Beweise: Teilbarkeit durch 8 anhand letzten 3 Ziffern erkennbar

Question

Hallo erneut :)

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass man allein an den letzten drei Ziffern einer ganzen Zahl die Teilbarkeit durch 8 erkennen kann.

Problem/Ansatz:

Aufgabe an sich habe ich verstanden.

Z.B.: 586320 an den letzten 3 Ziffern, also 320, kann ich erkennen, dass die ganze Zahl durch 8 teilbar ist.

Wie aber soll ich das beweisen?

Eine schriftliche Erklärung und / oder Beispiele reichen nicht aus.

Answer 1

Eine mindestens 4-stellige Zahl z kannst du schreiben als

$$z = 1000\cdot a + r$$

wobei r der höchstens dreistellige Rest ist und a ist eine natürliche Zahl.

Wenn du nun durch 8 teilst, erhältst du

$$\frac z8 = 125 \cdot a + \frac r8$$

Das ist nur eine ganze Zahl, wenn der Rest r durch 8 teilbar ist.

Comments

Vielen Dank!!!!

Eine Frage hätte ich jedoch noch, warum teilst du unten das a nicht auch durch 8 ?

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Das ist ein Produkt. Also

$$\frac{1000\cdot a}{8} = \frac{8\cdot 125 \cdot a }{8}\stackrel{8\: kürzen}{=} 125 \cdot a$$

Answer 2

586320 = 586*1000 + 320

da 1000 auf jeden Fall durch 8 teilbar ist ist der erste Summand durch 8 teilbar. Dann muss nur noch der zeite SSummand durch 8 teilbar sein, damit die ganze Zahl durch 8 teilbar ist.

320/8 = 40 Rest 0

Also ist 586320 durch 8 teilbar.