Bestimme den Abstand der Punkte von der Ebene

Question

Aufgabe:

Bestimmen den Abstand der Punkte A, B und C von der Ebene E

$$\begin{aligned} & \text { b) } E:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2,5 \\ 3,5 \end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{c} 12 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)=0 \\\\ & A(-2/0/3) \quad B(13/8,5/0,5) \quad C(-33/-20/14,25) \end{aligned}$$

Problem/Ansatz:

also ich weiß der Normalenvektor ist (12/6/-4) aber irgenwie steh ich grad aufm Schlauch, was genau ich machen muss

Answer 1

Normierter Normalenvektor

[12,6,-4] / |[12,6,-4]| = [6/7, 3/7, - 2/7]

Alles, was ich jetzt berechne, sind gerichtete Abstände. D.h. am Vorzeichen kann man noch erkennen, in welcher Richtung der Ebene der Punkt liegt. Als Abstand braucht man nur noch das Vorzeichen ignorieren.

A

([-2, 0, 3] - [1, 2.5, 3.5])·[6/7, 3/7, - 2/7] = -3.5

B

([13, 8.5, 0.5] - [1, 2.5, 3.5])·[6/7, 3/7, - 2/7] = 96/7 = 13.71

C

([-33, -20, 14.25] - [1, 2.5, 3.5])·[6/7, 3/7, - 2/7] = - 293/7 = -41.86

Comments

vielen Dank für Deine Antwort.

DIe Umrechnung in den normierten Vektor hab ich verstanden und auch das einsetzen in die Gleichung. Aber was muss ich mit was verrechnen um auf die -3,5 zu kommen, irgendwo hab ich da wieder einen Denkfehler

([-2, 0, 3] - [1, 2.5, 3.5])·[6/7, 3/7, - 2/7] = -3.5

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hat sich erledigt, Denkfehler gefunden

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hat sich erledigt, Denkfehler gefunden

Alles Klar. Ansonsten Klammer zuerst und dann das Skalarprodukt nehmen.

Answer 2

Wende die aus der Hesseschen Normalenform abgeleitete Abstandsformel der Reihe nach auf A, B und C an.

Comments

kannst du mir einen Ansatz geben

Bzw. ist dann 12x+6y-4z=a der richtige Ansatz und wenn ja setzt ich dann $$\begin{pmatrix} - 1\\-2,5\\-3,5\end{pmatrix}$$ einfach für x,y,z ein?