Aufgabe:
a) Zeigen Sie, dass für \(a, b ∈ \mathbb{R}^n \) mit der Eigenschaft \(\langle a, a − b \rangle = 0 \) gilt
\( \frac{1}{2}(|a|^2 - |b|^2) + \frac{1}{2}|a - b|^2 \)
b) Überprüfen Sie, dass für alle \(a, b ∈ \mathbb{R}^n \) gilt:
\( |a + b|^2 + |a - b|^2 = 2(|a|^2 + |b|^2)\)
Problem/Ansatz:
Für die a) bin ich wie folgt vorgegangen:
\(\langle a, a − b \rangle = 0 \)
\( \langle a, a − b \rangle = \langle a, a \rangle - \langle a, b \rangle = \langle a, a \rangle -1 + 1 - \langle a, b \rangle\)
\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (2 - 2\langle a, b \rangle)\)
\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (|a|^2 + |b|^2 - 2\langle a, b \rangle)\)
\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (\langle a, a \rangle + \langle b, b \rangle - 2\langle a, b \rangle)\)
\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (\langle a - b, a - b\rangle \)
\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (|a - b|^2) \)
\( |a|^2 - |b|^2 + \frac{1}{2} (|a - b|^2) \)
Stimmt das so? Wie mache ich hier für den linken Teil weiter? Es stimmt noch nicht ganz links
Für die b) bin ich wie folgt vorgegangen
\( |a + b|^2 + |a - b|^2 = (|a|^2 + |b|^2 + 2\langle a, b \rangle) + (|a|^2 + |b|^2 - 2\langle a, b \rangle) \)
\( 2|a|^2 + 2|b|^2 = 2 (|a|^2 + |b|^2)\)
Stimmt das so?
Habe ich damit schon für die beiden Aufgaben gezeigt dass dies für alle \(a, b ∈ \mathbb{R}^n \) gilt? Oder habe ich das nur für \( \mathbb{R}^2\) gezeigt?
Danke für die Hilfe!
