Hallo LIna,
Der Teil a) sollte klar sein: "Haben eine Gerade \(g\) und ein Kreis einen Punkt \(P\) gemeinsam und steht der Radius \(MP\) senkrecht auf \(g\), so ist \(g\) Tangente an dem Keis \(k\)".
Wenn man das beweisen möchte, so muss man definieren, was Kreis, Tangente und 'senkrecht' bedeutet.
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die einen identischen Abstand \(|r| \gt 0\) von einem Punkt \(M\) haben.
Eine Tangente an einen Kreis \(k\) ist eine Gerade, die mit \(k\) genau einen gemeinsamen Punkt hat.
Bei der Definition von 'senkrecht' muss man jetzt irgendwie noch 'Abstand' unterbringen. Wenn zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\) (eine Strecke ist dabei nur die Untermenge einer Geraden) senkrecht auf einander stehen, dann ist jeder Abstand von einem Punkt \(A \in g_1\) zu einem Punkt \(B \in g_2\), die beide nicht mit dem Schnittpunkt \(S\) zusammen fallen, immer größer als die Abstände zum gemeinsamen Schnittpunkt \(S\).$$|AB| \gt |AS|, \quad |AB| \gt |BS|, \quad A\ne S \land B \ne S$$Anders ausgedrückt: die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ist immer größer als jede Kathete.
Tipp: indirekter Beweis
Ja und das reicht für den Beweis:
Wir nehmen an, dass eine Gerade \(g\) mit rechtem Winkel zu \(MP\) mit einem geneinsamen Punkt \(P\) mit dem Kreis \(k\) keine Tangente ist. Dann müsste sie, nach der Defiintion von 'Tangente', entweder keinen gemeinsamen Punkt mit \(k\) haben oder mehr als einen.
Ersteres scheidet aus, da \(P\) als gemeinsamer Punkt vorgegeben ist.
Dann nehemn wir also an, es existiert ein zweiter gemeinsamer Punkt \(Q \ne P\) auf der Geraden \(g\). Dann ist aber nach der Definition von 'senkrecht' \(|MQ| \gt |MP|\). Und das steht im Widerspruch zu der Definition von 'Kreis'.
Daraus folgt, dass es sich bei \(g\) um eine Tangente handelt.
Gruß Werner
