Sei \((O_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung von M.
Wir wählen ein \(i_0 \in I\) mit \(x \in O_{i_0}\). Dann existier ein \(\delta>0\) mit \(B(x,\delta) \sub O_{i_0}\) (offene Kugel). Wegen der vorausgesetzten Konvergenz existiert ein natürliches m mit \(x_n \in B(x,\delta) \sub O_{i_0}\) für alle \(n >m\). Wie wählen \(i_j \in I\) mit \(x_j \in O_{i_j}\) für \(j=1 \ldots m\).
Fazit: \((O_{i_0}, O_{i_1}, \ldots O_{i_m})\) ist eine endliche offene Teilüberdeckung.
Die Aussage b) ist (allgemein) falsch: Wähle 2 verschiedene Element x,y in X und definiere die Folg
$$(y,x,x,x,x,x,x,x,\ldots)$$
Dann ist \(M=\{x,y\}\) und \(M \setminus{x}=\{y\}\) kompakt