Alles klar, versuchen wir's doch mal.
a) Sei \((\mathcal{O}_i)_{i\in\mathcal{I}}\) eine offene Überdeckung von \(K\cap L\). Wir würden jetzt gerne eine bereits bekannte Kompaktheit nutzen, um eine endliche Teilüberdeckung zu finden, zum Beispiel die von \(K\). Naja, wir wissen dass \(K\) und \(L\) abgeschlossen sind (da kompakte Mengen in Hausdorffräumen - also auch in metrischen Räumen - abgeschlossen sind), also auch \(K\cap L\) und damit ist \((K\cap L)^c\) offen.
Also ist \(((\mathcal{O}_i)_{i\in\mathcal{I}},(K\cap L)^c)\) eine offene Überdeckung von \(K\) (wäre auch eine von \(L\), kannst du dir aussuchen). Was bekommst du raus, wenn du jetzt die Kompaktheit von \(K\) nutzt? Und was bedeutet diese endliche Teilüberdeckung für \(K\cap L\)?
Kleine Überlegung: Da du ja nur die Kompaktheit von EINER der beiden Mengen nutzt, \(K\) oder \(L\), und von der anderen Menge nur die Abgeschlossenheit nutzt, hast du in Wirklichkeit eine stärkere Aussage hier beobachtet: Der Schnitt einer kompakten Menge mit einer abgeschlossenen Menge ist kompakt.
b) Nimm dir eine offene Überdeckung \((\mathcal{O}_i)_{i\in\mathcal{I}}\) von \(K\cup L\). Das ist dann sowohl eine offene Überdeckung von \(K\) als auch eine von \(L\). Wenn du jetzt die Kompaktheit jeweils verwendest, was bekommst du da raus und wie baust du das zusammen?
