Kompaktheit von Mengen zeigen

Question

Aufgabe: Sei (X,d) ein metrischer Raum und (x_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge mit Grenzwert x∈X.

              a) Zeigen Sie, dass die Menge M = {x} ∪ {x_n : n∈ℕ} ist kompakt

              b) Zeigen Sie, dass M\{x} nicht kompakt ist

Answer 1

Sei \((O_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung von M.

Wir wählen ein \(i_0 \in I\) mit \(x \in O_{i_0}\). Dann existier ein \(\delta>0\) mit \(B(x,\delta) \sub O_{i_0}\) (offene Kugel). Wegen der vorausgesetzten Konvergenz existiert ein natürliches m mit \(x_n \in B(x,\delta) \sub O_{i_0}\) für alle \(n >m\). Wie wählen \(i_j \in I\) mit \(x_j \in O_{i_j}\) für \(j=1 \ldots m\).

Fazit: \((O_{i_0}, O_{i_1}, \ldots O_{i_m})\) ist eine endliche offene Teilüberdeckung.

Die Aussage b) ist (allgemein) falsch: Wähle 2 verschiedene Element x,y in X und definiere die Folg

$$(y,x,x,x,x,x,x,x,\ldots)$$

Dann ist \(M=\{x,y\}\) und \(M \setminus{x}=\{y\}\) kompakt

Comments

Vielen Dank, aber könntest du mir noch kurz erklären, woher "I" kommt?

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I ist einfach nur eine Bezeichnung für eine Indexmenge, ich muss die offene Überdeckung ja irgendwie benennen. Oder wie habt Ihr offene Überdeckungen bezeichnet?

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Oke ja dann hat sich das erledigt. Vielen Dank!

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Eine Frage habe ich doch noch.

Aussage b) ist meiner Meinung nach zwar nicht für alle gültig, dennoch müsste es Beispiele geben, in denen die Aussage gilt... Wie finde ich diese am besten?

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Auf jeden Fall ist die Aussage richtig, wenn x nicht unter den Folgengliedern vorkommt. Weil dann M ohne {x} nicht abgeschlossen ist.