Bestimmen Sie das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.

Question

Aufgabe:

Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfallt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab. Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion \( p \) mit

\( p(x)=200 \cdot e^{-0,0480 x} \text { und } x \in R, x \geq 0 \text {, } \)

beschrieben. Dabei ist \( x \) die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und \( \mathrm{p}(\mathrm{x}) \) die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.

Bestimmen Sie das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.

Problem/Ansatz:

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Answer 1

Löse die Gleichung

\(\displaystyle p(x)=200\cdot e^{-0,048x} = 1 \)

Comments

Es heißt "weniger als 1 mg".

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Bei dem Zerfall des Plutonium-241 entsteht radioaktives Americium-241, das ebenfalls exponentiell zerfällt. Im verwendeten Modell gibt die Funktion a mit
a(x) = 207 . (1- e-0,0464x - e- 0,0016x für jedes Jahr die Masse des vorhandenen
Americium-241 in Milligramm an.
c)
Der Graph von a kann für einen Wert von k aus dem Graphen der Funktion h aus Aufgabe 1.1 erzeugt werden, indem man diesen in x-Richtung und in y-Richtung streckt.
Geben Sie die beiden Streckungsfaktoren an und bestimmen Sie den passenden Wert von k.
d)
Im Funktionsterm von a erfasst der Faktor 1- e 0,0484x die Zunahme der Masse des vorhandenen Americium-241 und der Faktor e-00016x den Zerfall des vorhandenen Americium-241.
Begründen Sie, dass es einen Zeitpunkt gibt, zu dem beide Faktoren den gleichen Wert annehmen.
Geben Sie die Bedeutung der Aussage $73) - 2,4 im Sachzusammenhang an.
Begründen Sie Ihre Angabe

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Es heißt "erstmals weniger als ein Milligramm".

Answer 2

p(x) <1

200*e^(-0,048x) <1

e^(-0,048x) <1/200

-0,048x < ln(1/200)

x> ln (1/200) /-0,048

x> 110,38 Jahre = ca 111 Jahre (aufgerundet auf volle Jahre)