Berechnen Sie von der oben dargestellten Messreihe den Mittelwert und die Varianz.

Question

Aufgabe:

Bei einer Verkehrszählung wurde die Anzahl der Kraftfahrzeuge ermittelt, die innnerhalb einer Minute vorbei fuhren. Die Beobachtungsdauer betrug 200 Minuten und ergab:

Anzahl der Kfz. pro Minute        0    & 1   & 2   & 3 & 4 & 5
Häufigkeit                                  110 & 65 & 21 & 3 & 1 & 0

b) Berechnen Sie von der oben dargestellten Messreihe den Mittelwert und die Varianz.

Problem/Ansatz:

\( \bar{x}=\frac{1}{200}(0 \cdot 110+1 \cdot 65+2 \cdot 21+3 \cdot 3+4 \cdot 1+5 \cdot 0)=0,6 \)

\( s^{2}=\frac{1}{200}\left(0^{2} \cdot 110+1^{2} \cdot 65+2^{2} \cdot 21+3^{2} \cdot 3+4^{2} \cdot 1+5^{2} \cdot 0\right)-0,6^{2}=0,96-0,36=0,6 \)

Wie wird die Varianz hier ausgerechnet? Wieso wird 0^2 , 1^2 ... geschrieben, gibt es hierzu eine konkrete Formel die angewandt wurde?

Comments

Wenn Du mir ein Lehrbuch zeigst, wo Varianz erklärt wird aber nicht die Formel dazu steht, schenke ich Dir eine vegane Banane.

V[X] = E[X^2] - E[X]^2

Answer 1

Wie wird die Varianz hier ausgerechnet? Wieso wird 02 , 12 ... geschrieben, gibt es hierzu eine konkrete Formel die angewandt wurde?

https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik)#Verschiebungssatz

\( \sigma^{2}=\left(\sum \limits_{i \geq 1} x_{i}^{2} p_{i}\right)-\left(\sum \limits_{i \geq 1} x_{i} p_{i}\right)^{2} \)

Zusätzlich wurde noch die 200 im Nenner ausgeklammert. Das macht man wenn absolute Häufigkeiten vorliegen.

Beachte, dass hier offensichtlich nicht die korrigierte Stichprobenvarianz genommen wird, da die Stichprobengröße als groß genug angesehen wird.

Ist das soweit verständlich?

Answer 2

Aloha :)

Die Varianz kann man nur berechnen, wenn der exakte Erwartungswert \(\mu\) bekannt ist:$$\sigma^2=\frac1{\pink n}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\pink{\mu})^2$$Hier wird jedoch der Erwartungswert durch den Mittelwert \(\overline x\) angenähert. Dadurch kommt eine weitere Ungenauigkeit in die Messreihe (Abweichung von \(\overline x\) zu \(\mu\)), die sich in die Varianz fortpflanzt. Glücklicherweise kann man das leicht korrigieren:$$\sigma^2=\frac{1}{\pink{n-1}}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\pink{\overline x})^2$$Zur Unterscheidung spricht man im zweiten Fall auch von der sog. "empirischen" Varianz.

In dem vorliegenden Fall gilt daher:$$\small\overline x=\frac{1}{200}\left(110\cdot0+65\cdot1+21\cdot2+3\cdot3+1\cdot1+0\cdot5\right)=\frac{120}{200}=0,6$$$$\small\sigma^2=\frac{1}{199}\left(110\,(0-0,6)^2+65\,(1-0,6)^2+21\,(2-0,6)^2+3\,(3-0,6)^2+1\,(4-0,6)^2+0\,(5-0,6)^2\right)$$$$\small\phantom{\sigma^2}=\frac{120}{199}\approx0,6030$$