Die von dir angegebene Reihe sieht momentan für mich so aus:
$$\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{n^n - 2}{(n-1)^n-1}$$
Diese Reihe kann weder bedingt noch absolut konvergieren, denn wenn eine Reihe konvergent ist, müssen ihre Glieder eine Nullfolge bilden.
Betrachten wir die Absolutbeträge der Glieder deiner Reihe:
$$ \frac{n^n - 2}{(n-1)^n-1} = \frac{n^n}{(n-1)^n} \underbrace{\frac{1 - \frac 2{n^n}}{1-\frac 1{(n-1)^n}}}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1} $$
Für den anderen Term \( \frac{n^n}{(n-1)^n} \) benötigen wir die mathematische Tatsache
$$ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^n = \frac 1e$$
wobei \(e\) die Eulersche Zahl ist. Nun gilt:
$$\frac{n^n}{(n-1)^n} =\frac{1}{\frac{(n-1)^n}{n^n}} = \frac{1}{\left(1-\frac 1n\right)^n} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 1{\frac 1e} = e$$.
Somit bilden die Glieder deiner Reihe keine Nullfolge und die Reihe kann nicht konvergent sein.
