∀n∈ℕ existieren eindeutig bestimmte an,bn∈ℕ mit an > bn, sodass: n=(an über 2) + (bn über 1)

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Annahme zuerst mit vollständiger Induktion beweisen und anschließend auch die Eindeutigkeit:

A(n):

∀n∈ℕ existieren eindeutig bestimmte a_n,b_n∈ℕ mit a_n > b_n, sodass:
n=(a_n über 2) + (b_n über 1)          (ich weiß leider nicht, wie ich hier den Binomialkoeffizienten darstellen kann).

Als Hinweis sind gegeben:

1. (n über k) = \( \frac{\prod_{i=1}^{k}{(n-i+1)}}{\prod_{i=1}^{k}{i}} \)

2. Man beweise erst die Existenz durch Induktion und danach die Eindeutigkeit.

Ansatz:

Ich habe hier als Induktionsanfang n=0 gewählt.

Da a_n > b_n gelten soll, ist a_n = 1 und b_n = 0, damit beide Binomialkoeffizienten = 0 werden.

Die Induktionsvoraussetzung ist dann natürlich, dass A(n) für alle n∈ℕ gilt.

Problem:

Mein Problem liegt darin, dass ich leider überhaupt gar keine Ahnung habe, wie ich den Induktionsschritt und später die Eindeutigkeit beweisen soll. Beim Induktionsschritt müsste man ja eigentlich von n auf n+1 schließen und das beweisen, oder?

Answer 1

Bei der Induktionsvoraussetzung liegst du falsch ,die ist A(n) (für gegeben n ) ,schließlich soll ja A(n) für alle n gezeigt werden

Verstehe nicht warum man überhaupt Induktion braucht, man kann ja a_ n berechnen.

Setze für a n über 2 und b_n über 1 in die Formel ein ..dann kommt man sofort drauf das a_n sowas wie floor von wurzel n und b_n = n- a_n über 2 ist.

Comments

1. Was genau ist der Unterschied zwischen deiner I.V. und meiner I.V.?

2. Welche Formel setzt du ein? Jeweils die von Hinweis 1, nur bezogen auf den jeweiligen Binomialkoeffizienten? Und wie genau soll das dann aussehen? Ich hatte bereits versucht, es einzusetzen, aber da kam nichts sinnvolles bei heraus.

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1.Bitte lesen

2. Nochmal einsetzen und Resultat posten. Hinweis: Schau dir an welche Werte a n uber 2 +  b n über 1 annehmen kann in Abhängigkeit von a n

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Zu 2.:
n = \( \frac{(\prod_{i=1}^{2}{(a_n - i + 1)})}{\prod_{i=1}^{2}{i}} \) + \( \frac{(\prod_{i=1}^{1}{(b_n - i + 1)})}{\prod_{i=1}^{1}{i}} \)

 = \( \frac{(a_n - 1 +1)*(a_n - 2 + 1)}{1*2} \) + \( \frac{(b_n - 1 + 1)}{1} \)

 = \( \frac{(a_n * (a_n - 2 + 1))}{2} \) + b_n
  = \( \frac{a_n^{2} - a_n}{2} \)  + b_n

Aber wie geht es jetzt weiter, auch bzgl. deines Hinweises?

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Was weißt du über b n ?

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Dass b_n < a_n ist. Aber inwiefern hilft mir das.

Es tut mir leid, ich stehe gerade wirklich auf dem Schlauch.

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Mit f(a,b) = a über 2 + b

nimmt f( a,. ) alle Werte von zwischen a (a-1) /2 und a( a-1)/2 + a = a^2/ 2  an .

Jetzt kann man sich überlegen wie man den Beweis vervollständigt

A) man zeigt dass f bijektiv ist von ( a,b)mit a größer b nach N

B) man definiert a n b n rekursiv

an+1, b n+1=

Fall 1 a _ n , bn+1 Wenn b_n nicht a_n -1

Fall 2 a_n+1, 0 wenn b_n=a_n-1

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C) ( Meine Erste idee und wahrscheinlichschlechter als A) B) und der Gründ für mein Kommentar bzgl. b_n).)

Man definiert a_n = sqrt(2n ) oder so ähnlich und bn = n - a_n über 2

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a( a-1)/2 + a = a²/ 2 

1. ist es nicht \( \frac{a*(a-1)}{2} \) + a = \( \frac{a^{2} - a}{2} \) + \( \frac{2a}{2} \) = \( \frac{a^{2} + a}{2} \) = \( \frac{a*(a+1)}{2} \) ?

2. und ist f(a,b) = (a über 2) + b = n?

3. Was bedeutet genau "man definiert a_n,b_n rekursiv"? Die Fallunterscheidung leuchtet mir ein.

P.S.: Auf jeden Fall vielen vielen Dank für die Hilfe!!!

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Könnte mir hier noch jemand eine Antwort geben? Die Fragen sind bei mir leider immer noch ungeklärt.