Es exisitert dann ein n aus den Natürliche Zahlen, mit i1 bis in Element aus I, sodass (vi1 bis vin) eine Basis von …

Question

Aufgabe: Sei (v_i)_ieI ein erzeugendensystem von einen beliebigen K-VR V. Es exisitert dann ein n aus den Natürliche Zahlen, mit i₁ bis i_n Element aus I, sodass (v_i1 bis v_in) eine Basis von V ist?

Problem/Ansatz: Mein Ansatz wäre, nein. Da man hier keine Pauschale Aussage treffen kann. stimmt das so?

Answer 1

ja, man kann das an einem Beispiel erläutern:

Sei V der Raum aller folgen \(x : \N \to \R\) mit der Eigenschaft, dass es für jedes x ein \(n \in \N\) gibt (das also von x abhängt), so dass \(x(i)=0\) für \(i>n\). Ein Erzeugendensystem ist gegeben durch die Folgen \(x_k:\N \to \R\) mit \(x_k(i)=\delta_{ik}\), \(k \in \N\). Endlich viele Elemente aus diesem Erzeugendensystem, etwa \(x_1, \ldots , x_m\), könnten ein Element x aus V mit \(x(m+1)=1\) nicht darstellen.