Zeigen Sie, dass die i-te Spalte von der Matrix MAB(idKn ) gleich vi ist , sodass MAB (idKn) = (v1, v2,...,vn)

Question

Aufgabe:

Sei \(A = (v_1,...,v_n)\) eine Basis von \(\mathbb{K}^n\) und sei \(B\) die Standardbasis von \(\mathbb{K}^n\). Zeige, dass die \(i\)-te Spalte von der Matrix \(M^A_B(id_{\mathbb{K}^n})\) gleich \(v_i\) ist, sodass \(M^A_B(id_{\mathbb{K}^n})=(v_1,...,v_n)\).

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte die Matirx

$$ M^A_B(id_{\mathbb{K}^n})=\Bigg(\phi_B(id_{\mathbb{K}^n}(v_1)),...,\phi_B(id_{\mathbb{K}^n}(v_n))\Bigg)=\Bigg(\phi_B(v_1),...,\phi_B(v_n)\Bigg) $$

Dabei ist \(\phi_B\) die Koordinatenabbildung bzgl. der Basis \(B=(e_1,...,e_n)\), die Standardbasis von \(\mathbb{R}^n\). Setze nun für alle \(i=1,...,n\) den Vektor

$$ v_i:=\begin{pmatrix}x_{1,i}\\x_{2,i}\\\vdots\\x_{n,i}\end{pmatrix} $$

Dann gilt

$$ v_i:=\begin{pmatrix}x_{1,i}\\x_{2,i}\\\vdots\\x_{n,i}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1,i}\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\x_{2,i}\\\vdots\\0\end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\x_{n,i}\end{pmatrix}\\=x_{1,i}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+x_{2,i}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}+...+x_{n,i}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\\=x_{1,i}\cdot e_1+x_{2,i}\cdot e_2+...+x_{n,i}\cdot e_n $$

Daraus kannst du nun deinen Koordinatenvektor ablesen.