A:=(v1 I ... I vn) Beweisen Sie: (<v1...vn>=Km) <=> Lös(A, ci) nicht leer (ci ist der i-te Standardbasisvektor von K^n)

Question

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Sei K ein Körper und A=(v₁ I ... I v_n) ∈ M_m,n (K), d. h. die Spalten der Matrix A ist gegeben durch die Vektoren v₁, ... , v_n ∈ K^m. Zeigen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:

(i) <v₁, ... , v_n>=K^m

(ii) Für alle i∈{1, ... , n} gilt Lös(A, c_i) ≠  ∅

(c_i ist der i-te Basisvektor der Standardbasis von Kⁿ)

Hinweis: Zeigen Sie zuerst folgende Aussage:

Gilt c_i ∈ <v₁,...,v_n> für alle i∈{1,...,n}, so folgt

<c₁,...,c_n>⊆<v₁,...,v_m>