Zeigen Sie: Es gibt eine Basis <v1-v6> des R6 derart, dass v1,v2 eine Basis von U ist, aber gar kein vi in …

Question

Aufgabe:

Über die Untervektorräume U,W des R⁶ ist nur bekannt, dass dim(U)=dim(W)=2, U∩W={0}.

Zeigen Sie: Es gibt eine Basis v1,v2,v3,v4,v5,v6 des R⁶ derart, dass v1,v2 eine Basis von U ist, aber gar kein vi in W liegt. Hinweis: Konstruieren Sie zuerst eine Basis des R⁶, die Basen von U und W enthält.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie das möglich ist.

Schonmal danke für die Hilfe (ist eine alte Klausur Aufgabe).

Answer 1

Wähle eine Basis \((v_1,v_2)\) für U.

Ergänze diese Basis zu einer Basis \((v_1,v_2,w_1,w_2)\) von \(U+W\)

Ergänze diese Basis zu einer Basis  B':=\((v_1,v_2,v_3,v_4,w_1,w_2)\) von \(\R^6\)

Dann liegen \(v_3,v_4\) nicht in W.

Definiere einen neue Basis  B:=\((v_1,v_2,v_3,v_4,v_5:=w_1+v_3,v_6:=w_2+v_4)\)

Das ist eine Basis: Jedes \(s \in \R^6\) hat eine Darstellung

$$x=\sum_{i=1,2,3,4}s_iv_i+s_5w_1+s_6w_2\\\quad =\sum_{i=1,2,3,4}s_iv_i+s_5(v_5-v_3)+s_6(v_6-v_4)$$

B ist linear unabhängig: Wenn

$$0=\sum_{i=1}^6s_iv_i=\sum_{i=1,2,3,4}s_iv_i+s_5(w_1+v_3)+s_6(w_2+v_4)$$

Weil B' linear unabhängig ist, folgt \(s_1=s_2=s_5=s_6=0\) und \(s_3+s_5=0\), also auch \(s_3=0\) und schließlich \(s_4=0\)

Außerdem ist \(v_5 \notin W\), weil sonst \(v_3 \in W\) wäre. Ebenso \(v_6\)