Ungleichung lösen 1+ y>= ey/(y+1)

Question

Aufgabe:

ich stehe bezüglich dieser Ungleichung komplett auf dem Schlauch.

Man soll zeigen, dass 1+ y>= e^y/(y+1) ist. Mit y > -1. Ich habe hier jedoch leider keine Ahnung wie ich das machen kann. Ich hab es mit umformungen versucht und weiß nicht aber wie man das zeigen kann

LG

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Ein weiterer Vorschlag: Für \(x>-1\) definiere \(h(x)\colonequals(1+x){\cdot}\log(1+x)-x\).
Die Funktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar und es ist
\(h^\prime(x)=\log(1+x)\), sowie \(h^{\prime\prime}(x)=\dfrac1{1+x}\).
Daraus folgt, dass \(h\) im Punkt \(T(0\mid0)\) ein absolutes Minimum hat.
Das heißt, dass \((1+x){\cdot}\log(1+x)\ge x\) ist, woraus die Behauptung folgt.

Answer 1

Das geht analytisch nicht, weil y linear und als Exponent auftritt.

Verwende ein Näherungsverfahren.

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Man soll die Ungleichung zeigen, nicht nach \(y\) auflösen.

Answer 2

\(1+y≥ e^{\frac{y}{y+1}} \)

1.)\(y=0,5\)

\(1+0,5≥ e^{\frac{0,5}{0,5+1}} \)

\(1,5≥ e^{\frac{0,5}{0,5+1}} \)

\(1,5≥ \sqrt[3]{e} \)

\(1,5≥ e^{\frac{1}{3}}|^{3} \)

\(3,375≥ e \)

2.)\(y=1\)

\(1+1≥ e^{\frac{1}{1+1}} \)

\(2≥ e^{\frac{1}{2}}|^{2} \)

\(4≥ e \)

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Wieso nimmst du einfach Beispiele?

Kann man das so machen? Warum diese Zahlen?

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Ich weiß sonst keinen Weg, um die Ungleichung zu zeigen.

Answer 3

1+y≥e ^y÷(y+1)

^{wenn ich es richtig lese}

^{Untersuchung auf =}

^{1+y≥e^y÷(y+1)    ι-y}

1 ≥ e^y÷(y+1)-y

setzen wir y=0

1=e^0÷(0+1)-0

1=e hoch alles mit 0 ist gleich 1

1=1

jetzt untersuchen wir y, was passiert wenn es größer als 0 oder kleiner als 0 ist

also +1 und -1

1≥e^1/(2)-1=0,6... bla bla kommt dann raus, was wirklich kleiner ist als 1

und für (-1)

käme etwas raus, das ciriva 1,6 bla bla wäre, was definitiv größer ist als 1, womit die Ungleichung nicht mehr gilt

somit ist dein Intervall für y

0 bis unendlich, da desto größer die Zahl, desto kleiner wird es.

den Tipp  " y> -1" brauchst du eig. gar nicht und so zeigst du auch selber :)

[0;+∞[ ={y∈ℝ Ι 0≤y<+∞  }

der unterschied zwischen gleich, ungleichgleich und ungleich, ist seeehr wichtig!

Answer 4

Hier ein kurzer Fahrplan, wie du die Ungleichung zeigen kannst:

(1) Setze t= 1+y, um die Ungleichung zu vereinfachen. Zu zeigen ist

also für \(t>0\):

$$e^{\frac{t-1}{t}} = e\cdot e^{-\frac 1t} \leq t$$

bzw.

$$e \leq te^{\frac 1t}$$

(2) Zeige, dass \(f(t) = te^{\frac 1t}\) bei \(t=1\) ein globales Minimum auf dem Intervall \((0,\infty)\) hat. (Z. Bsp. mittels Betrachtung der 1. Ableitung.)

(3) Nun schließe \(f(1) = e \leq f(t)\) für alle \(t \in (0,\infty)\)