Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung ist und bestimmen Sie Kern(f).

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass
  $$   f: \left\{ \sum^n_{i=0} a_i t^i \in \mathbb{Z}[t] \ | \ a_i = 0 \text{ für } i \geq 4 \right\} \rightarrow \mathbb{Z}^2_3, \quad \sum^n_{i=0} a_i t^i \mapsto ([2]_3a_2 - a_0,a_1 - a_2)   $$
  eine lineare Abbildung ist und bestimmen Sie Kern \(f\).

Problem/Ansatz:

Also ich nehme an, man muss beweisen, dass es ein Homomorphismus ist, also zeigt man \(f(v+w)=f(v)+f(w)\) und \(f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v) \).. aber hier ist es weniger übersichtlich für mich. Wie würde es hier aussehen? Und beim Kern kann ich das nur mit Matrizen..

Answer 1

Mach dir erst mal klar wie das aussieht:

\( \{ \sum^n_{i=0} a_i t^i \in \mathbb{Z}[t] \ | \ a_i = 0 \text{ für } i \geq 4 \}  \)

Das sind Polynome, die höchstens den Grad 3 haben, also solche wie

\( \sum^3_{i=0} a_i t^i \in \mathbb{Z}[t] \ | \ a_i = 0 \text{ für } i \geq 4   \)

bzw. so \(   a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3 \).

Also sind das v und das in der Gleichung \(f(v+w)=f(v)+f(w)\)

solche Polynome und du kannst beginnen mit

Seien \( v= a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3 \)  und   \( w= b_0+b_1 t+b_2 t^2+b_3 t^3 \)

Dann gilt   \( v+w= (a_0b_0)+(a_1+b_1) t+(a_2+b_2) t^2+(a_3+b_3) t^3 \)

Und wenn darauf nun f angewendet wird, gibt das ja

\( f(v+w) = ([2]_3(a_2+b_2)  - (a_0+b_0),(a_1+b_1) - (a_2+b_2))    \)

mit den Rechengesetzen im Körper \(  \mathbb{Z}_3  \) zeigst du, dass das gleich f(v)+f(w) ist.

\(f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v) \) entsprechend.

v ist im Kern, wenn f(v)=0 gilt also

\([2]_3a_2 - a_0,a_1 - a_2 = 0       \)  in \(  \mathbb{Z}_3^2  \), also

\([2]_3a_2 - a_0 = 0      \) und  \(a_1 - a_2 = 0      \)

<=>  \(-a_2 - a_0 = 0      \) und \(a_1 - a_2 = 0      \)

<=>  \(-a_2 = a_0      \) und \(a_1 = a_2     \)

mit a für a₂ und b für a₃ sehen die Polynome im Kern also alle so aus:

\(  -a+a t+a t^2+b t^3 =  a\cdot(-1+t+t^2) +b t^3  \) 

Und du erkennst schon gleich eine Basis für den Kern.

Answer 2

\(f(v+w)=f(v)+f(w)\)

Sei \(v = \sum^3_{i=0} v_i t^i\) und \(w = \sum^3_{i=0} w_i t^i\).

Dann ist

        \(v + w = \sum^3_{i=0} (v_i +w_i)t^i\)

also

        \(f(v + w) = ([2]_3(v_2+w_2) - (v_0+w_0),(v_1+w_1) - (v_2+w_2))\).

Außerdem ist

        \(f(v) + f(w) = ([2]_3v_2 - v_0,v_1 - v_2)+([2]_3w_2 - w_0,w_1 - w_2)\).

Zeige also, dass

        \(\begin{aligned}&([2]_3(v_2+w_2) - (v_0+w_0),(v_1+w_1) - (v_2+w_2))\\=\,&([2]_3v_2 - v_0,v_1 - v_2)+([2]_3w_2 - w_0,w_1 - w_2)\end{aligned}\)

ist.

\(f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v) \)

Nach dem gleichen Muster wie oben.

Comments

Ah okay super.. würde \(\lambda\) auch in \(\mathbb{Z}_3\) sein oder ist es egal von welchem Körper?