Wie weit musste die Katze rennen, um die Maus zu fangen? Vektorrechnung

Question

Eine Maus läuft an einer Wand entlang und kommt dabei an einer Katze vorbei, die 6 Meter von der Hauswand entfernt sitzt. Die Katze versucht, die Maus zu fangen, was ihr auch gelingt, obwohl die Maus unter Beibehaltung der Richtung entlang der Wand flüchtet. Die Katze rennt dabei aber nicht Richtung Maus, sondern steuert geradlinig den Punkt an, an dem sich die Maus befindet, wenn die Katze die Hauswand erreicht.

Bei der Jagd rennt die Katze im Mittel mit 20 km/h und die Maus mit 16 km/h.
Modellieren sie den Vorgang (Vektorrechnung) & beantworten Sie:

* Wie weit musste die Katze rennen, um die Maus zu fangen?
* Wie weit rennt die Maus auf ihrer Flucht?
* In welchem Winkel zur Hauswand bewegt sich die Katze?

Kann jemand zusammen mit mir die Aufgabe lösen? Ich hätte gedacht, dass man eventuell mit dem Satz des Pythagoras arbeitet, aber ich weiß nicht wie ich dann die die Geschwindigkeiten einbauen soll hmm ansonsten dachte ich evtl die km/h als Länge der vektoren darzustellen, kriege das aber auch nicht richtig auf die Reihe

Answer 1

Sie treffen sich am Punkt P ( 0 ; y ) wenn die Maus von Nullpunkt aus

nach oben und die Katze vom Punkt (-6,0) aus Richtung P rennt.

Die Vektoren für die gelaufenen Strecken sind dann

\(    \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}   \)  und \( \begin{pmatrix} 6 \\ y \end{pmatrix} \)

Die haben (in m) die Längen y (für die Maus) und \(   \sqrt{36+y^2}  \) für die Katze.

Die Maus läuift 40/9  m/s und die Katze 50/9 m/s , wenn sie also zur gleichen Zeit die

Strecken von y bzw. \(  \sqrt{36+y^2}  \)  gelaufen sind, dann gilt ( wegen t=s/v )

\(  \frac{9y}{40}   = \frac{9\sqrt{36+y^2}}{50}  \)

<=> \( 50y = 40\sqrt{36+y^2} \), das gibt y=8.

Also rennt die Maus 8m, die Katze 10m.

Für den Winkel α zur Hauswand gilt tan(α) = 6/8 = 3/4 also α=36,9°.