Als erstes kann man sich überlegen, wie denn \(\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\) "aussieht". Eine Basis ist gegeben durch \((1,X,X^2,X^3)\). (Das muss man an sich zeigen, also lineare Unabhängigkeit und, dass das auch ein Erzeugendensystem ist. Das ist auch eine gute Übung, um mit der Definition einer Basis vertraut zu werden.)
Damit hat \(\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\) Dimension 4.
Als nächstes überlegen wir uns einfach 'mal ein paar Polynome mit der geforderten Eigenschaft. Zum Beispiel gilt ja für \(p=X-1\), dass \(p(1)=0\). Selbiges gilt auch für \(X^2-1\) und \(X^3-1\). Diese drei sind linear unabhängig, das lasse ich jetzt auch 'mal als Übung übrig. (Allgemein hilft bei vielen Aufgaben, bei denen man nicht weiterkommt, einfach 'mal etwas auszuprobieren, wie hier, irgendwelche Polynome aus \(U\) aufzuschreiben.)
Wir wissen also schonmal: \(U\) hat mindestens Dimension 3.
Wir wissen aber auch: \(U\subsetneq \mathrm{Pol}^3_\mathbb R\), denn andernfalls wäre ja zum Beispiel, \(q=X\in U\), aber \(q(1)=1\). Das heißt, wir haben \(\mathrm{dim}(U)\le 3\), weil sonst hätten wir ja, dass \(U=W\) gilt.
Insgesamt haben wir also \(3\le\mathrm{dim}(U)\le3\), also ist die Dimension 3 und die drei gefundenen Polynome von oben sind schon eine Basis von \(U\), da sie ein maximales Erzeugendensystem bilden.
Bei irgendwelchen weiteren Fragen, z.B. zu den bisherigen Lücken, gerne einfach einen Kommentar schreiben. :)