Aloha :)
Mit Hilfe des Grenzwertes für die unendliche geometrische Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{falls }|q|<1$$kriegst du alle Fälle, bis auf den letzten, in den Griff.
$$S_a=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac17\right)^n=\sum\limits_{n=1\pink{-1}}^\infty\left(\frac17\right)^{n\pink{+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac17\right)^{n+1}=\frac17\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac17\right)^n$$$$\phantom{S_a}=\frac17\cdot\frac{1}{1-\frac17}=\frac{1}{7-1}=\frac16$$
$$S_b=\sum\limits_{n=-3}^\infty\left(-\frac12\right)^n=\sum\limits_{n=-3\pink{+3}}^\infty\left(-\frac12\right)^{n\pink{-3}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac12\right)^{n-3}=\left(-\frac12\right)^{-3}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac12\right)^n$$$$\phantom{S_b}=(-2)^3\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac12\right)}=-8\cdot\frac{1}{\frac32}=-8\cdot\frac23=-\frac{16}{3}$$
$$S_c=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac13\right)^{n+3}=\left(\frac13\right)^3\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac13\right)^{n}=\frac{1}{3^3}\cdot\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{27}\cdot\frac{1}{\frac23}=\frac{1}{27}\cdot\frac32=\frac{1}{18}$$
$$S_d=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^{n-1}}{3^{2n+1}}=\frac{8^{-1}}{3^1}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^n}{3^{2n}}=\frac{1}{8\cdot3}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^n}{(3^2)^n}=\frac{1}{24}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^n}{9^n}$$$$\phantom{S_d}=\frac{1}{24}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac89\right)^n=\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{1-\frac89}=\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{\frac19}=\frac{9}{24}=\frac38$$
$$S_e=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5+(-1)^n}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{5}{3^n}+\frac{(-1)^n}{3^n}\right)=5\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac13\right)^n+\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac13\right)^n$$$$\phantom{S_e}=5\cdot\frac{1}{1-\frac13}+\frac{1}{1-\left(-\frac13\right)}=5\cdot\frac{1}{\frac23}+\frac{1}{\frac43}=\frac{15}{2}+\frac34=\frac{33}{4}$$
Beim letzten Fall müssen wir etwas ausholen:$$S_N=\sum\limits_{n=2}^N\frac{2e}{n^2-n}=2e\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{(n-1)n}=2e\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac1n\right)=2e\left(\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\right)$$$$\phantom{S_N}=2e\left(\sum\limits_{n=2\pink{-1}}^{N\pink{-1}}\frac{1}{(n\pink{+1})-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\right)=2e\left(\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\right)$$$$\phantom{S_N}=2e\left(\left(\frac11+\pink{\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}}\right)\pink-\left(\pink{\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}}+\frac1N\right)\right)=2e\left(1-\frac1N\right)\stackrel{(N\to\infty)}{=}2e\cdot1=2e$$
