Wie ist die Lösung bzw. Rechenwege dazu?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Funktion:

\( g(x)=\left\{\begin{array}{ll} |x+1| & \text { für } x \leq 0 \\ \frac{1}{4}(x+2)^{2} & \text { für } x>0 \end{array}\right. \)

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:

(1) \( g \) ist differenzierbar in \( x=-1 \). \( X \)
(2) \( g \) ist stetig in \( x=-1 \).

(3) \( g \) ist nicht definiert in \( x=-1 . \times \)

(4) \( g(x)=-x-1 \), für \( x \leq-1 \).

(5) \( g \) ist differenzierbar in \( x=0 \).

(6) \( g \) ist nicht stetig in \( x=0 . \chi \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

das sieht doch gut aus.

Zu welcher Aufgabe brauchst du denn den Rechenweg?

:-)

Comments

Wieso ist erste Aussage Falsch? Beide Funktionen müssen gleich sein?

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Aussage lautet nur : g ist differenzierbar in x=-1

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Der Graph der Betragsfunktion |x+1| hat eine "Ecke" für x=-1, d.h. der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind nicht gleich.

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Wieso ist erste Aussage Falsch?
Aussage lautet nur : g ist differenzierbar in x=-1

schaue Dir folgenden App an. Du kannst den schwarzen Punkt auf dem roten Graphen von \(g(x)\) mit der Maus verschieben

Die grüne Gerade ist die Tangente an \(g(x)\) und die gestrichelte lila Kurve ist der Graph von \(g'(x)\). Wenn Du den Punkt auf die Position von \(x=-1\) verschiebst, verschwindet die Tangente. Dort springt die Steigung von \(+1\) nach \(-1\). Folglich ist an dieser Stelle keine Steigung definiert. \(g(x)\) ist bei \(x=-1\) zwar stetig aber nicht differenzierbar.

Answer 2

Hallo

1) falsch bei -1 ist der links und rechtsseitige GW des Differenzenquotienten nicht gleich  falsch ( Spitze der Betragsfkt)

2) richtig aber links und rechtzeitiger GW der Funktion ist gleich also stetig.

3) richtig Der Betrag bei x=0 ist definier.

4) richtig Betragsdefinition

5) 6) richtig beide GW sind jeweils gleich ( aus 5 richtig, folgt 6 richtig)

lul