Wie ist die Lösung bzw. Rechenwege dazu?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Funktion:

\( g(x)=\left\{\begin{array}{ll} |x+1| & \text { für } x \leq 0 \\ \frac{1}{4}(x+2)^{2} & \text { für } x>0 \end{array}\right. \)

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:

(1) \( g \) ist differenzierbar in \( x=-1 \). \( X \)
(2) \( g \) ist stetig in \( x=-1 \).

(3) \( g \) ist nicht definiert in \( x=-1 . \times \)

(4) \( g(x)=-x-1 \), für \( x \leq-1 \).

(5) \( g \) ist differenzierbar in \( x=0 \).

(6) \( g \) ist nicht stetig in \( x=0 . \chi \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

das sieht doch gut aus.

Zu welcher Aufgabe brauchst du denn den Rechenweg?

:-)

Comments

Wieso ist erste Aussage Falsch? Beide Funktionen müssen gleich sein?

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Aussage lautet nur : g ist differenzierbar in x=-1

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Der Graph der Betragsfunktion |x+1| hat eine "Ecke" für x=-1, d.h. der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind nicht gleich.

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Wieso ist erste Aussage Falsch?
Aussage lautet nur : g ist differenzierbar in x=-1

schaue Dir folgenden App an. Du kannst den schwarzen Punkt auf dem roten Graphen von \(g(x)\) mit der Maus verschieben

https://www.desmos.com/calculator/o2z7gu7jfv

Die grüne Gerade ist die Tangente an \(g(x)\) und die gestrichelte lila Kurve ist der Graph von \(g'(x)\). Wenn Du den Punkt auf die Position von \(x=-1\) verschiebst, verschwindet die Tangente. Dort springt die Steigung von \(+1\) nach \(-1\). Folglich ist an dieser Stelle keine Steigung definiert. \(g(x)\) ist bei \(x=-1\) zwar stetig aber nicht differenzierbar.

Answer 2

Hallo

1) falsch bei -1 ist der links und rechtsseitige GW des Differenzenquotienten nicht gleich  falsch ( Spitze der Betragsfkt)

2) richtig aber links und rechtzeitiger GW der Funktion ist gleich also stetig.

3) richtig Der Betrag bei x=0 ist definier.

4) richtig Betragsdefinition

5) 6) richtig beide GW sind jeweils gleich ( aus 5 richtig, folgt 6 richtig)

lul